I. — Théorèmes fondamentaux
1. Abordons maintenant Fétude d'une classe particulière d'équations différentielles, qui a fait, depuis trente ans, l'objet d'un nombre considérable de travaux; ce sont les équations différentielles linéaires et bomogènes. On entend par là des équations de la forme
où les coefficients p sont des fonctions de la seule variable x^ que nous supposerons uniformes dans une certaine région du plan à contour simple et n'ajanl d'autres points singuliers que des pôles.
Pour une certaine valeur Xq de x^ qui n'est pas un point singulier des p^ on peut se donner arbitrairement la valeur d'une intégrale et de ses dérivées jusqu'à l'ordre m — i. Soient donc m intégrales particulières
ri. J^2, .... y m
déterminées cliacune par leurs valeurs initiales pour x = Xq et par celles de leurs dérivées jusqu'à l'ordre m — i . On peut sup-
(') On consultera surtout pour ces géaéi'alités les deux Mémoires classiques de M. Fuchs {Journal de Crelle, t. G6 et 68), et deux Mémoires de M. Thomé {Journal de Crelle, t. 74 et 75). Voir aussi la Thèse de M. Jules Tannery {Annales de V École Normale, 1875).
2o4 CHAPITRE XI.
poser que le Tableau de ces valeurs initiales, c'est-à-dire le déter minant suivant, pris pour x = Xq,
ri
dx
dy.2 dx
dx
dx"^-'^ dx"^~^
d"'-\ym
cix"^-^
ait une valeur différente de zéro. De plus, ces solutions particulières sont toutes holomorphes à l'intérieur d'un certain cercle F décrit de ^o comme centre.
Ceci posé, considérons une intégrale quelconque jv; elle sera déterminée par la valeur qu'elle prend en x^^ ainsi que ses m — i premières dérivées. Or, formons la combinaison
On peut choisir les constantes G de manière que cette expression, ainsi que ses m — • i premières dérivées, soit égale h. y et à ses ni — I premières dérivées pour ^ = ^o- On aura, pour cette détermination, à résoudre un système d'équations du premier degré pour lesquelles le déterminant ne sera pas nul d'après l'hypothèse faite ci-dessus. Or il n'y a qu'une seule intégrale qui prenne, ainsi que ses m — i premières dérivées, des valeurs données pour un point non singulier ^o 5 Ofi 9? par suite,
JK = GijKi -+-G2jK2^
G,„jKm.
On peut donc avec m intégrales quelconcjues [sauf la restriction d' inégalité mentionnée) former V intégrale générale.
Une autre conséquence très importante à tirer de ce qui précède, est qu'wne intégrale quelconque y est holomorphe à l'intérieur du cercle T. Ainsi, considérons une aire A, à contour simple, ne comprenant aucun point singulier des coefficients/? de l'équation différentielle. Pour chaque point de cette aire, nous pouvons tracer, autour de ce point comme centre, un cercle à l'intérieur duquel toute intégrale est holomorphe. Le rayon de ce cercle peut varier avec la position du point, quand celui-ci varie dans A, mais son minimum n'est certainement pas nul.
Par suite, l'extension analytique dans la région A peut se faire de proche en proche avec un cercle de vdijon Jixe (le cercle de rayon minimum) et nous avons cette proposition capitale :
Toute intégrale de (i) est holomorphe dans une région du plan à contour simple ne comprenant aucun des points singuliers des coefficients de Vécjuation différentielle.
Il résulte encore des considérai ions précédentes que les intégrales de (i) ne peuvent a^'oir d'autres points singuliers que ceux des coefficients p. Nous appellerons ces derniers les points singuliers de V équation différentielle.
2. On donne à tout système d'intégrales j', , j'o, . . ...ym-, pour lequel le déterminant (2) n'est pas identiquement nul, le nom àe système fondamental à^\n\é^vû.^s . On doit remarquer qu'entre
les intégrales
jKi, JK2, ..., y,
d'un système fondamental n'existe pas de relation homogène et linéaire à coefficients constants telle que
car en dilTérentiant m — i fois cette relation et éliminant les a, on voit que le déterminant (2) serait nul.
Réciproquement, si pour m fonctions j^, , J^2i • • • 7 JK/« de x^ le déterminant (2) formé avec ces fonctions est identiquement nul, il y aura entre les j^ une relation de la forme (3), les a étant des constantes. Pour le montrer, nous pouvons supposer que le déterminant d'ordre m — i, obtenu en supprimant dans (2) la dernière ligne et la dernière colonne, n'est pas identiquement nul, car autrement on serait ramené du cas de m au cas de m — i. Dans ces conditions, nous pouvons former l'équation linéaire E d'ordre m — i ayant pour système fondamental d'intégrales
yu y 2, •.., ym-i-
Le déterminant (2) étant nul, y„, satisfera à l'équation E et, par suite, on aura, d'après le premier théorème du paragraphe
précédent,
les a étant des constantes.
3. Revenons à la région A du plan à contour simple, où les p sont des fonctions holomorphes de la variable complexe x. La méthode des approximations successives, déjà étudiée à diverses reprises {voir notamment p. 88 de ce Volume), permet d'obtenir pour toute intégrale un développement convergent dans cette région; c'est ce que nous avons déjà dit à la pa^e 92. A la vérité, nous supposions que la variable restait réelle, mais l'extension à la variable complexe se fait d'elle-même, comme nous avons déjà eu l'occasion de le voir (p. 90, en note). Nous avons donc le théorème suivant ( ' ) :
Toute intégrale de V équation {\) peut être représentée par une même série dans une région quelconque du plan à contour simple ne comprenant aucun point singulier de Véquation différentielle.
4. Abordons maintenant l'étude des points singuliers. Nous allons supposer que, dans une certaine région du plan, les coefficients p aient comme points singuliers des pôles. Soit a un de ces points; il pourra être un point singulier pour les intégrales de l'équation différentielle.
Partons d'un système fondamental
7i» JK2, ..-, y m,
défini dans une certaine aire voisine de a et ne contenant pas ce point. Si, partant d'un point de cette aire, nous faisons décrire à la variable x un contour fermé autour du point «, il arrivera, en général, que nous ne retrouverons plus le système initial. Mais, comme l'équation différentielle n'a pas changé, nous retrouverons
(*) Pour les applications de la méthode des approximations successives aux équations linéaires, on pourra consulter une Note que j'ai publiée dans le Bulletin de la Société mathématique (1894).
un autre système d'intégrales de la même équation
Yi, i2> • • • 5 Y„,, et Ton aura
Yi = «11 ^1 -^ «12 ^^2 — • . . — «im^'m, Ys = «21 JKl -T- «22 ^^2 -^ • • • -^ «2mJK/n,
Y„i = «ml JKl — «,«2 J^2— ... -H a,nmym,
les a étant des constantes. Nous allons chercher si Ton peut trouver une intégrale
u= a^yi-h-oc^yo
■Yr
qui se reproduirait, à un facteur constant près, par la circulation précédente. Après avoir tourné autour de a, nous avons, pour w, une valeur U, et l'on a
U = ai Yi -i- a. Y, — . . . ^ a,„ Y,„.
Ecrivons donc que
ai(«iiJKi-V. . .— «im7m) -f- a2(«2iJKi-f-. . .— «2/« J'/«) — . . .
Or, il ne peut pas exister de relation linéaire et homogène à coefficients constants entre les y; sinon, le déterminant (2) serait identiquement nul. On aura donc
3'l(«ll — F^)-i-3t2«2I -^ ••. -^ 3t ,„«,„! =0,
ai «12 -H a, (a22 — ;jl) — . . . -7- a,„«„j2 — o,
a,«ij et on en conclut
«/ni
Il est facile devoir que les racines de cette équation de degré m en li. sontdes invariants, c'est-à-dire sont indépendantes du système fondamental dont on est parti. En effet, toute combinaison li-
néaire des y est une combinaison linéaire des éléments z d'un autre système fondamental et inversement; par suite, à toute combinaison linéaire des y, se reproduisant au facteur [jl près, correspond une combinaison des z-, se reproduisant au même facteur a. Les équations de la forme (3), correspondant à l'un et l'autre système, ont donc mêmes racines.
Remarquons encore que l'équation (3) ne peut avoir de racine nulle, car le déterminant | aïk | devrait être nul, et alors les Y et, par suite, les y ne formeraient pas un système fondamental.
5. Supposons que l'équation (3) ait ses racines distinctes. Aux 771 racines
correspondront m intégrales
ces intégrales seront linéairement indépendantes, car, si l'on avait entre elles une relation à coefficients constants,
/il lli + ki ^2 -T- . . . -H km U/n — O.
En faisant faire un tour à x autour de a, on aurait
/.l [i.1 Ml + Âo Fl2 W.2 -t- . . . + k,n !^/« Um = O,
et donc, d'une manière générale,
ÂTi \J.\ Ui + /t2 [J.^ W2 + . . . -+- k,n [J-'/n ^hn =0 ( i = O, 1 , 2, . . . , m — I ).
Ces 771 relations sont impossibles, car on en déduirait que le déterminant de Vandermonde relatif aux a est égal à zéro.
Ainsi donc, pour le cas général où l'équation (3) n'a pas de racines égales, 07i a lui systè/7ie fo7ida77ie7ital d' i7itég7'ales w,, u-2^ . . . , Unn •5<^ 7'ep7'oduisa7it 7^espectiveT7ient multipliées pa7' les C07ista7ites p.< , ao, . . . , [j.,«, qua7id x toiunie aatoiu' de a.
On peut aisément donner la forme analytique générale de ces intégrales. La fonction
se reproduit multipliée par e-^'i', quand x tourne autour de a; si
donc on a
^2'îtr,/- |Xj ou p^ — __logai,
on voit que l'on a
'jji [x) étant uniforme dans le voisinage de a. On a, d'une manière générale, les m intégrales
Ui=^ {x— aYit^i{x) (i = I, 2, . . ., m)
ies C5 étant uniformes autour de a.
6. Supposons maintenant que l'équation (3) ait des racines multiples. Nous allons montrer que, s'il j a des racines multiples d'ordre a, p, ..., on peut s'arranger de manière que les intégrales se partagent en groupes de a, {3, . . . lettres, de telle sorte que a, désignant la racine d'ordre a, on ait pour les a intégrales que nous désignerons par^,, ^o, . . . , x^ la substitution linéaire, correspondant à une circulation autour de «,
/ Xi IJLiiCi, <4) ' ir3 lXiXz-^'>^l-2^-2-^^-22^l,
\ XoL ,ai^a-^ ^-la-i^a-i — •• •— ^^a-i,a-i^i,
et des substitutions analogues pour les autres groupes de lettres. Pour démontrer ce théorème, nous le supposerons vrai pour m — I lettres et nous montrerons qu'il est vrai pour m. Nous parlons donc de
yu fi: "-, y m;
on peut toujours supposer que l'on remplace ce système par un autre système y, .r<, ^o, •••» ^m-t, pour lequel la substitution correspondant à la circulation autour de a sera exprimée par le Tableau
y iMy,
Xi X, -i-l-iy, )
les X étant des fonctions linéaires en ^,, x-^, ..., x,n^.\. Les racines de l'équation en ]j. relative auxjj-, que nous savons être des invariants, se composent de [x, et des racines de Féquation de degré m — I relative aux formes linéaires X,, Xo, .. ., X^^,. Si u, est une racine de degré a, elle sera, pour cette dernière équation, de degré a — i. D'après l'hypothèse admise que le théorème est vrai pour m — i lettres, nous pouvons faire sur x^^ x^-, . . ., Xm-\ une substitution telle que nous ayons pour elles les substitutions de la forme indiquée; nous n'aurons cependant pas encore la forme voulue, sauf pour le premier groupe de a leltres correspondant à la racine ji.,, à cause des termes enj^, qui ne doivent pas figurer dans les groupes suivants. Mais il suffit alors de remplacer
Xi par Xi— kl y (î^ol)
ki étant une constante convenable, pour que la substitution ait la forme indiquée. Ainsi, par exemple, si la substitution relative à Xi est
oci, \i.iXi-\~liy,
nous substituerons à la variable xi la variable
Xi~kyelle se transforme alors en
IXiXi— kiJ,^y -^liy, c'est-à-dire
[M ( Xi — f^y ) -^ A- ( \^i — [-^1 )y -^ ^^if-
Si donc on choisit k de manière que
k{\ii— p.i) -4-X,-=r= o,
ce qui est possible, puisque \y-iy^ [^^j on aura effectué la transformation cherchée.
7. Nous pourrions nous servir de la forme de la substitution (4) pour trouver une expression analytique de x^^ x^^ . . ., Xa.- Nous procéderons autrement, en considérant une équation auxiliaire qui reviendra souvent par la suite. Soit une première intégrale
7i = (^ — ay^'o^{x),
'^,(x) étant uniforme dans le voisinage de a. Posons
y =yi I ^dx:
z satisfera à une équation dilFérentielle d'ordre /n — i de même forme que la proposée
A cette équation d'ordre m — i correspond une équation en -jl analogue à (3) et de degré m~\\ ses racines seront les racines de (3), prises à l'exclusion de ;j.,, divisées par ;ji,. Dans le cas actuel, si /', correspond à la racine multiple ;jl, d'ordre a, nous aurons pour l'équation en 3 une racine multiple d'ordre a— i égal à un. L'équation en ^ a donc au moins une intégrale uniforme autour de a. On opérera sur Téquation en z comme on a opéré sur l'équation en j-, et finalement on obtient un groupe
de a intégrales
yi j dxz I udx,
J'a= Ji I dxz d ux I . . . I w dx,
les a — I fonctions :;, u, . . . , tv étant, comme '^,, uniformes dans le voisinage de a. Les intégrations successives montrent que jk. est de la forme
yi = {^~ciy.^Ooi(x)-^o,i(x)\o>y{x~a)-r-...~Oi^i^i(x)[\os(x~a)y-^l les Z) étant uniformes.
11 est à remarquer d'une manière générale que les fonctions
?01, 'fl2, Ç23j -.., ^i-Uh
coefficients des puissances les plus élevées des logarithmes, sont dans un rapport constant, comme il résulte de suite du calcul successif des intégrales.
8. INoiis avons donc mainlenant la forme analvtique générale des intégrales dans le voisinage d'un point singulier, forme où figurent des fonctions uniformes autour de a, ayant en général ce point comme point singulier essentiel.
Supposons que l'équation proposée ait une intégrale pour la- ([uelle toutes les fonctions uniformes, qui figurent dans son ex- |)ression comme coefficients des logarithmes, aient le point a conune pâle: nous allons monlrer que l'équalioii aura au moins une intégrale de la forme
(37 — a)''o{x)^ '^{x) ayant a pour pôle.
Désignons en effet par
y=--ix^ aY\\ -\-\Mo^{x— a) -^ . . .^ L[\o^{x - a )Y\
cetid intégrale ; les coefficients A, . . . , L sont des fonctions de x ayant au plus a pour pôle, et L n'est pas identiquement nul. Si Ton fait tourner x autour de a, l'intégrale y se transformera en Y, el si l'on forme la combinaison
Y— [jir, ([JL = e27i'-')
on aura une nouvelle intégrale qui sera de la forme
(^ — a)'-j Ai-!-Hilog(a7 — a)4-...-i-Li[Iog(^ — a)]^-ij,
uù L, n'est pas identiquement nul et où les Aj, . . ., T^, ont au plus a pour pôle. En continuant ainsi, on arrive à une intégrale
(le la forme
Ç'(^) ayant au plus a pour pôle Qi^[x) n'étant pas identiquement nul : c'est ce que nous voulions établir.
En augmentant, s'il est nécessaire, /• d'un entier convenable, on peut admettre que ^{x) est liolomorplie autour de a et ne s'annule pas pour x:=- a.
Considérons maintenant le cas où l'équation admettrait s intégrales linéairement indépendantes^ pour lesquelles les coefficients des diverses ])uissanccs des logarithmes auraient seulement des pôles en a, nous aurons d'abord une intégrale ^4 de la forme
jKi=:(a7 — a)'-cp(.rj,
POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 2o3
'^{x) étant liolomorplie en a^ et 'f («) étant différent de zéro. Je pose
la fonction ; satisfera à une équation d'ordre m ~ i .
où les rj ont, comme les />, le point a pour pôle. Je dis que cette équation aura s — i intégrales linéairement indépendantes de r espèce indiquée.
Soient en effet j',,yo, . . ., j-^ les s intégrales de l'équation en j^dont nous avons supposé Texistence, l'équation en z admettra
dx\y,j' ' dx\yj'
<pii seront linéairement indépendantes et de la nature voulue, l-^lles sont linéairement indépendantes, car, si l'on avait
on en conclurait
CiVy— C, Yi -+-. . .-r- Csfs = O.
ce qui n'a pas lieu.
II. — Équations dont toutes les intégrales sont régulières en un point singulier.
9. Un cas très simple, particulièrement étudié par M. Fuclis, est celui où, pour toutes les intégrales, les cp n'ont que des pôles. On dit alors que toutes les intégrales sont régulières en a. Nous allons d'abord trouver une forme nécessaire pour les coefficients/^ de l'équation dillerentielle, et nous montrerons ensuite qu'elle est suffisante.
D'après ce que nous avons dit, nous aurons certainement une
J'i = {x — ay^(x) [3(rt)^o].
" Posons alors, comme ci-dessus,
= jKi / zdx,
nous avons 1 équation
et l'on trouve immédiatement
I / dvx
et d'ime manière générale
I V m( m — ])...( m — ï -M ) d^jx yi [ i .'2. . .1 dx.i
(m — \)...(m — i-hi) d'-^ Yi . . , dvi
- ' — ri..(^-i) ^' i&Â +• • •^('«-' +■)/>,-. ^- H- PO'
L'équation (4) a, comme l'intégrale proposée, toutes ses intégrales régulières.
Soit d'abord m= i. JNous avons l'équation
dy
il faudra nécessairement C[uey>i soit de la forme -- -^ — y /(œ) étant
holomorphe, pour que les intégrales soient régulières, comme le montre la formule
y =z Ce~-'>ih<^lx.
Faisons maintenant m = 2; l'équation (4) sera alors du premiei-
degré et par suite ^, sera de la forme ~ ~; il en sera donc de
même dey?i d'après l'expression de <7,. D'autre part, on a
\ [ d-y dy\
En substituant j^ = (.r — a)'''jî(:c), on voit que /^o est de la forme -~^— - • Ainsi donc l'é(|ualion du second ordre, dont les intc'-
grales sont toutes régulières, est nécessairement de la forme
d-^y ^ f,U) dy Mx)
dj- {x—a)dx ' {x — ay- '
/, ety*2 étant holomorphes autour de a.
Admettons maintenant que, pour une équalion d'ordre m — i, la forme nécessaire pour que toutes les intégrales soient régulières soit
dm-\ y f^iX) d"i-^- V f.y(x) din--^ Y f,n-y(x)
(/x'"-^ X — a dx"^-' ' (^x — a)' dx»^-'^ "' {x — a}'"-^^ '
les f étant holomorphes autour de <7, nous allons montrer sans peine que la même forme subsiste pour les équations d'ordre m. Nous partons donc d'une équation d'ordre m à intégrales toutes régulières autour du point a. L'équation (4) correspondante en z aura aussi, comme nous l'avons vu, ses intégrales régulières; <3llc sera donc de la forme écrite ci-dessus. En prenant
yi = (x — ay'^{x) o(a)^o,
on déduit de l'expression générale de ^/, que />/ est de la forme
' ' — -.i fii-^) étant holomorphe autour de a. Il ne reste plus à
trouver que la forme de pm', c'est à quoi l'on parvient à l'aide de la relation tirée de l'équation diflerentielle elle-même
d"y^ d"^-^yi dvi^^
dP^ '^P' 'Ib^ "^ • • -^P"'-' tix
f { x) qui montre que p,n est de la forme • "^ —-> et le théorème est
par suite établi.
10. Traitons maintenant la question inverse, et démontrons (ju'une équation de la forme
dx'"^ ' x — adx"i-^ (^x — ay^ dx"^--^ '" {x — ay ^
où les /sont holomorphes dans le voisinage de a, a toutes ses intégrales régulières au voisinage de ce point.
206 CHAPITRE Xr.
Pour abréger récriture, nous pouvons faire a = o. Au lieu de considérer une équation linéaire d'ordre m, nous allons pour un moment envisager un système d'équations linéaires du premier ordre.
Si l'on pose
dy dyi dy,n-^
on reconnaît immédiatement que jK^^i se met sous la forme d'ui> poljnôme à coefficients numériques en
dy d'^y d''^-'^ y
dx dx- ' dx"^-^
et inversement les expressions préct'dentes s'expriment linéairement en y, ^',, y.^^ . . ., y,„,. L'équation (5) devient alors
dYm-\
^ ' ^^ - ^ «i7 + «2ji+..-^^/mr//'-i'
les a étant liolomorphes dans le voisinage de ^ = o. Au lieu du système précédent, nous pouvons prendre d'une manière plus générale le système de m équations homogènes et linéaires du premier ordre
dy*
les A étant liolomorphes dans le voisinage de ^ i= o. Cherchons. , s'il existe un système d'intégrales de la forme
yi = x'-in, y.^-xnu^ ..., y^^^^x'-u,„,
r étant une constante convenablement choisie, et les u étant holomorphes autour de l'origine.
En désignant par c,, Co, • . . , ^«^ les valeurs des u pour x = o, valeurs qu'on peut supposer, en prenant r convenablement, n'être
pas toutes nulles, on a, en substituant dans l'équation différentielle,
(«Il — f')Cl<^liC2—...-hai,nC,n =0,
«21 Ci'^{a.2.2 — r)C2-~...-^a2mCm — o,
«m 1 Cl — a, ,12 Co -i-. . .— (a,n „i — /• ) C,n = O
les a désignant les valeurs des A pour ^ = o. Il résulte de ces équations que
«wlî «//r2) • • • ■> (f^mm — '' i
/• sera donc racine de cette équation du /?^''™'^ degré; nous désignerons par
les m racines de l'équation (6). Écrivons alors le système sous la forme
dyx
les B étant holomorphes autour de l'origine. Cherchons à simplifier la forme de ces équations en effectuant sur les j^ une substitution linéaire convenable. Faisons abstraction des termes en j:
dans les seconds membres de (7). Posons x ~ =^ Dy et considérons la substitution
Dj^i = «iijKi + «i2r2-î-----^«i/«j'/«,
^Jm = «m ijl — « m2 JK2 -^ • • • ^ «/« m^m ,
qui consiste à substituer à jKi ,^2? • • • , ym les expressions linéaires placées dans les seconds membres.
Mais reportons-nous à ce que nous venons de dire (§ 4 et o)
sur la rédiiclion des subslilutions linéaires. Nous avons donné une forme canonique à laquelle on peut ramener une telle substitution ; c'est précisément Téquation (6) qui joue le rôle essentiel dans cette réduction. Si cette équation a ses racines distinctes, nous pourrons donc supposer que dans les seconds membres de (7) les termes indépendants de x se réduisent (^ ) à
Dans le cas où il y aura des racines multiples, ces termes se partageront en groupes correspondant à la même racine. Ainsi pour une racine i\ multiple d'ordre a, les a premières équations auront pour seconds membres (aux termes en x près), d'après ce qui a été dit (§ 5),
^\ycL ~- ^i>a-i JKa-1 -T- . . .-H Aa-i,a-i J'i>
et l'on aura des groupes de même forme pour les équations restantes.
11. Supposons donc que les équations (7) aient la forme indiquée. Nous avons, après la réduction qui vient d'être effectuée, les équations
dx
"^-TJ- = ''171+^(61171 +••.):
^^r- =/'l72-^>^ll7l-+-^( ):
dx
^ ~dx = '■i>'a"^^^i'a-i7a-i-+-..-+>^a-i,a-i7i + ^( );
Nous allons porter notre attention sur la racine i\ ; son ordre
(') Comparer les considérations précédentes à la question analogue étudiée à la page 4 de ce Volume.
de multiplicité a (qui peut, bien entendu, être égal à un) ne figurera d'ailleurs pas dans le résultat auquel nous voulons parvenir
Cherchons si le système précédent admet des intégrales de la forme
Jl = X'\ Il i, J2 = •^'■' "2 , . . . , y m = ^'•' W/«.
Nous aurons, en substituant, les nouvelles équations
/ du.
du, dx
r^ All«,
du^ -
^ 'd^ =^ia-iï'a-i
Ui-{-xi ),
les parenthèses étant liolomorphes en x. On va montrer qu'on peut satisfaire à ces équations en j)renant pour les u des fonctions liolomorphes de x, si toutefois certaines relations, que nous indiquerons, ne sont pas remplies.
Les équations différentielles permettent de calculer de proche en proche les coefficients des développements. Pour x = o, les u seront nulles en général, sauf ii^ dont la valeur initiale restera arbitraire. Pour qu'on ne soit pas arrêté dans le calcul des dérivées successives, il faut qu'aucune des différences
ri — ri (fcVO
ne soit égale à un entier positif.
Il ne reste plus qu'à voir que les développements ainsi obtenus sont convergents. Nous emploierons à cet effet les méthodes de comparaison dont nous nous sommes déjà tant de fois servi. Les valeurs initiales des u sont toutes nulles, sauf celle de «a, dont nous désignerons le module par u^. Soit , d'autre part, A le module maximum des quantités ). et de ses analogues dans les équations différentielles, et soit enfin £ le module minimum de la différence
m — (ro — ri),
•îiiirûBR^
OFTHE
9,70 CHAPITRE Xr.
OÙ m est un entier positif quelconque, et de ses analogues poulies différentes racines /^ de l'équation en /'. INous considérons le système d'équations
Su^ — or { ^^ / £Wa+i=a7( ),
Dans les parenthèses, les coefficients de w,, u^^ . . ., ii^ ont été remplacés par des fonctions majorantes (ou fonctions de comparaison) pour un certain cercle autour de l'origine.
Pour X =0, les équations (g) donnent les u égaux à zéro, sauf Uy^ qui est égal à u\. Les valeurs de u^ définies par les équations (9), sont holomorphes autour de :r = o. Nous avons à comparer maintenant les développements tirés des équations (8) et (9). Pour ces dernières, on en tire des développements où les coefficients sont lous positifs, et qui sont certainement convergents dans un certain domaine, autour de l'origine.
On voit immédiatement que les coefficients des développements tirés de (8) ont un module moindre que les coefficients correspondants tirés de (9), d'après la signification de t et de X, et le fait que dans les parenthèses les coefficients de u ont été remplacés par des fonctions majorantes. On aura donc certainement pour (8) des développements convergents.
Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant :
Le système (7) admettra un système d'intégrales de la forme
les u étant holomorphes dans le voisinage de x =zo^ en désignant par r^ une racine de l'équation (6) telle qu'aucune différence
ri — rj , /'3 — ''i , • • • , rm — ^1
ne soit un entier positif différent de zéro.
On voit que cet énoncé n'exclut pas le cas où il y aurait, parmi les racines ^2, . . ., r^, une ou plusieurs racines égales à r,.
]j'équation (6) s'appelle Véquation fondamentale déterminante relative au point singulier jj; = o. Dans le cas qu'on peut appeler général, les racines
sont distinctes, et aucune des différences
i'i—rk {ÏT^k)
n'est égale à un entier positif ou négatif. On a alors, pour (-), nt systèmes d'intégrales
les z> étant liolomorplies autour de l'origine.
12. Revenons maintenant à l'équation différentielle (5) d'ordre m, c'est-à-dire à l'équation
dx'"^ ix — a) dx'"-^ {x—a)"'-^ ^'
En appliquant le théorème du paragraphe précédent, on voit que celle équation admettra au moins une intégrale de la forme
y = {x — ayo(x),
o{j:) étant holomorphe dans le voisinage de a. Pour trouver l'équation donnant r, il n'est pas besoin de former le système d'équations linéaires équivalent à l'équation d'ordre m. Il suffît d'écrire que l'expression précédente ['f («) étant différent de zéro] satisfaite Téquation. On obtient ainsi, en égalant à zéro les termes de moindre degré,
(lo) \r(r-.)...ir-m-^.)
Si /'i , /'o, . . . , r„i sont les m racines égales ou inégales de cette équation, l'équation différentielle admettra une intégrale de la forme
yi=--(x — aY.'^(x),
'^{x) étant holomorphe autour de rt, et cp(rt) étant différent de zéro,
si aucune des différences
r-2—ri, r^- /'i, . .., r,a— i\
n^est un entier positif différent de zéro.
L'équation (lo) a été appelée par M. Fiiclis l'équation fondamentale déterminante relative au point singuliers. Un rapprochement très important est à faire entre l'équation (lo) et l'équation (3) en pi (§4). Il résulte de ce que nous avons dit à la fin du paragraphe précédent, que, si les différences des racines de l'équation (lo) ne sont pas des entiers positifs ou négatifs, on aura les intégrales régulières
jKi= (37 — a)'-icpi(;r), jK2=(a7 — a)'-^cp,(^), ..., jk,« = (^ -«)'""' 'fm(^),
et, par suite, les ni racines de réc[uation (3) seront égales à
Telle est, pour le cas général, la dépendance entre les équations (3) et (lo). Cette dépendance subsistera évidemment dans tous les cas, puisque le théorème étant vrai pour des valeurs arbitraires des coefficients /i (a), ...,/,„(«) de (lo) ne peut cesser d'être exact pour des valeurs particulières de ces coefficients.
43. Pour faire la recherche des intégrales, on partagera les racines
de l'équation (lo) en groupe^ tels que, dans chacun d'eux, la différence de deux racines soit un entier positif ou négatif, et que, d'un groupe à l'autre, la différence de deux racines de ces groupes ne soit pas entière. Soient
les racines d'un premier groupe, ces racines pouvant être égales ou inégales. Supposons-les rangées par ordre décroissant de grandeur et posons
On a pour z une équation déjà considérée d'ordre m — i, dont
POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. ^jâ
toutes les intégrales sont régulières autour de a. Puisque
les racines de l'équation fondamentale déterminante pour l'équation en z seront
ro— /'i — 1, /'s — /'i — «, •••. /'m— /'i — T,
et, parmi celles-ci, nous avons le groupe des a — i racines entières
/•■2— /*i— i, ''3— '"i — I, ..., ry,— ri—i
les autres n'étant pas des entiers.
L'équation en z aura une intégrale de la forme
'^^{jo) étant liolomorphe dans le voisinage de a, et '}(«) étant différent de zéro. En substituant dans l'expression de j', on a alors une seconde intégrale
y^={x-aY.[k{x)-^^{x)\o^{x-a)\,
A et B étant liolomorplies, le produit
{x - ay^^ix),
se réduisant d'ailleurs, à un facteur constant près, à j,.
En opérant sur l'équation en z^ comme on a opéré sur l'équation en jK, et continuant ainsi de proche en proche, on aura finalement les intégrales
yu y-i^ "■' Vol,
et j'a est de la forme
J'a = (^ — «)'•-; Al (x)^A,(ar)lo-(j7 — a) -+-... -r-Aa i(^)[log(^ — «)]^-ij,
les A étant liolomorplies. Nous avons donc ainsi formé un ensemble de a intégrales correspondant au groupe des a racines de (lo) différant d'un entier.
14. Appliquons ces généralités à une équation différentielle du second ordre, sur laquelle nous aurons d'ailleurs à revenir; c'est
l'équalion différentielle de la série hjpergéométrique
a, fi et Y désignant trois constantes. Les trois points singuliers des intégrales sont ^ = o, ^ ~- i et x =^ œ. Pour ce dernier point, il
faudra faire, pour l'étudier, ^r = —> dans l'équation différentielle,
et considérer le point x' ^= o dans la transformée.
Pour former l'équation fondamentale déterminante relative au point o, nous écrivons l'équation sous la forme
^^.y Y — (a -h [3 — - 1)^ <■/>- OL^ cr
dx^ ^ ~x{i — x) dx ~ x^i—"x) -^ ~ ^'
(^t l'équation (lo) devient ici
r{r — i) -h rv — o.
(lui a les deux racines
Si donc Y n'est pas un entier, l'équation a, dans le voisinage <le a., les deux intégrales
oi(a-), x^-yoz(x),
's^ el cso étant holomorphes dans le cercle de rajon un, cp, (o) et Oo(o) n'étant pas nuls. La forme des coefficients du développement de (Di (^x) est remarquable. En posant
cp j ( ;r ) = I -:- Cl a? -1- C.2 37^ ^- . . . -f- Cj, xP -!-...,.
on trouve, en substituant dans l'équation différentielle,
\—p{p i) (a + p -f- r)/? — a?] Cp~~ \p{p + j) 4- y(/? -r- i)]C;,+i = o, par suite
et l'on a, pour cp, (^), le développement célèbre
série convergente dans le cercle de rayon un, et que nous avons déjà rencontrée (t. II, p. 2^9).
Nous avons supposé plus haut que i — ^' n'était pas un entier. Si I — Y est un entier négatif, nous aurons toujours une intégrale holomorphe cp,(^), puisque des deux racines
zéro est la plus grande. La série hypergéométrique subsiste dans ce cas. Les conclusions sont autres, si i — v est un enûev posilij. On a, dans ce cas, une intégrale de la forme
'^^{x) étant holomorphe et 'i(o) ^o; la seconde intégrale renferme un terme logarithmique.
Conformément aux généralités du § 13, elle est de la forme
A(:r) -^ kx^-l'^{x) logor,
k étant une constante, et A(^) étant holomorphe dans le cercle de rayon un [A(o) ^ o].
III. — Théorèmes généraux sur les équations à intégrales irrégulières {^).
lo. Les équations dont toutes les intégrales sont régulières en un point singulier forment, comme on \ienl de le voir, une classe remarquable; on peut obtenir pour elles la forme analytique des intégrales au moyen de développements dont les coefficients se déterminent de proche en proche par voie de récurrence. L étude des équations ayant des intégrales irrégulières est beaucoup plus difficile.
Dans cette étude, il y a d'abord une suite de nombres entiers qui joue un rôle très important. Reprenons Féquation
dm y dm-\ y
-d^^P'dx^^-^---P"'^ = ''- Soient respectivement r, , tto, .... 7:,„ les degrés de multiplicité
(') Pour les généralités sur les intégrales irrégulières, voir les Mémoires de M. Thomé {Journal de C relie, t. 74, 75 et 76).
(le a comme pôle de/>i,/>2i ^--^ Pm- Considérons la suite des entiers
(11) 7ri-h/;i — I, T2-;-/?î — •^, ..., -w-i~i, ~,n.
Elle va être de grande importance pour la suite. Si le plus grand de ces nombres ne dépasse pas m, nous sommes dans la classe des équations différentielles étudiées dans la Section précédente; nous allons donc supposer que le maximum g de ces nombres dépasse m.
16. Supposons que l'équation différentielle ait une intégrale régulière. Nous avons le lemme préliminaire suivant :
Soient g > m le plus grand des nombres
TTi + /?! — 1 , 712 H- m '^ ? • • V T^w-l + I '•>
le coefficient pm admettra a comme pôle avec un degré de multiplicité ne dépassant pas g.
La démonstration est immédiate, car nous n'avons qu'à substituer
dans l'équation
i Vd"^y d'n-'^y dy~\
J [ dx^n -^P^ 'chi.^i -f- . . . -^ p,n-X ^^ J - - Pm,
pour voir que t,„i satisfait à l'inégalité indiquée.
17. Nous allons généraliser le lemme précédent, en supposant que l'équation différentielle possède an moins m — h intégrales régulières linéairement indépendantes. Admettons alors que les Il premiers nombres de la suite (11)
TTi -H m — I , 7:2 -T- /?l 2, . . . , TT/i -T- m h
aient pour maximum ^\> 7?z; nous allons montrer que tous les nombres
TT/i+i -\- ni— h — I , . . . , ~„i-\ -h 1 , 7z,fi
seront inférieurs ou égaux à g.
Dans le paragraphe précédent, nous avons démontré celte proposition pour h=^m — i. Nous allons supposer maintenant
qu'elle est vraie pour une équation différentielle d'ordre m — i et montrer qu'elle est vraie pour une équation différentielle d'ordre m. En posant
7 = r 1 / ^ dx^
où y^ est l'intégrale régulière [x — a)'c5(j;) ['j(«) ^ o], nous aurons pour z une équation d'ordre m — i, qui aura au moins m — Il — i intégrales régulières linéairement indépendantes. Soient
les nombres relatifs aux coefficients q dans l'équation en z. On a désigné par g le plus grand des nombres
TTi -h /?i — 1 . ~i-^ m — 2, .... -/i-T- 7)1 — h.
Il résulte de l'expression des coefficients q, à l'aide des p^ donnée au § 9, à savoir :
I V m(m —i). .(m — i-i-i) d^Vi , . , dys 1
?'■= J, L r^TTT -d^' ^...+ (,n-c^ ,)/^.- ^ +/-,■/,]
que le terme maximum dans la suite
sera au plus égal à
On déduit donc, du théorème admis pour les équations d'ordre m — I , que
sont au plus égaux à g — i et par suite, en se reportant à l'expression de Pi en fonction de qi et des p d'indices inférieurs à /, les nombres
sont au plus égaux à ^, et il en est de même aussi (paragraphe précédent) pour iz^.
18. Du lemme précédent se déduit une proposition intéressante. Supposons que pour une équation différentielle, le plus
2^8 CUAPITIIK XI.
p-rand des termes de la suite
(S) TTi -f- ;?i — 1 , 7:2 4- "î — 2 , ..., -éZfn
soit un nombre g> m; désignons par
