Il -{-m — h
le premier terme de cette suite égal à g (pour le cas où il y en aurait plusieurs); V équation ne pourra avoir plus de m — h intégrales régulières linéairement indépendantes. Si, en effet, l'équation avait m — A' intégrales régulières distinctes (/i'<A), comme les termes de la suite
sont inférieurs à g^ il résulterait du paragraphe précédent que tous les termes de la suite (S) sont inférieurs k g\ ce qui n'a pas lieu, puisque izh -1- m — h = g.
19, Le théorème qui vient d'être établi donne seulement une limite supérieure pour le nombre des intégrales régulières distinctes, mais malheureusement cette limite peut ne pas être atteinte. Nous en verrons un exemple dans un moment. Cherchons à obtenir les intégrales régulières qui pourraient exister, en attribuant à h, dans les calculs qui vont suivre, la même signification que ci-dessus.
Écrivons l'équation différentielle sous la forme
dx"' ~^(^ — a)^i dx"'-^ '^ {x — a)T^^ dx"'-'^ {x — (1)-^^
les/ étant holomorphes et différents de zéro pour x =^a. En faisant dans cette équation
y =z {x — a)'' II,
u étant holomorphe, et u{a) étant différent de zéro, on aura en divisant par {x — ay le résultat de la substitution et le multipliant par [x — a)S^ puis faisant .2: = «,
i ,. (r ,)...[/' (m -A) H- i]//,(a) (12) -^r{r — \)...[r--{m — A) +2] \fu^'^{x) {x — a)^/-'^/.+i+i]^=a
On obtient donc ainsi une équation du degré m — A à laquelle doit satisfaire r pour que Ton ait une solution de la forme indiquée. Cette équation d'ordre m — h est l'analogue de l'équation fondamentale déterminante dans le cas où l'équation a toutes ses intégrales régulières; elle se confond avec elle, si h = o.
20. On peut, avec cette équation en /•, commencer une étude analogue à celle que nous avons faite avec l'équation fondamentale déterminante dans le cas des équations de M. Fuclis ; mais, avant d'indiquer ces généralités, prenons un cas particulier qui nous mettra sur la voie d'une circonstance qui sera générale. J'envisage l'équation du second ordre
dr- y dy
Les intégrales ne peuvent être toutes régulières pour ^i=o. On a ici
On a donc la suite
Ainsi «• == 3, A ::= I, et il y a par conséquent au plus une inté grale régulière, et l'équation (12) en /• se réduit à
L'intégrale régulière, si elle existe, sera donc de la forme
J- = Ao H- A, ;r + . . . -r- A,„ X'n -^ . . . ^ ( Ao ^ o).
Or la substitution montre qu'on peut calculer les coefficients de proche en proche. On obtient les équations
«oAi-i- 6oAo= o, rtiA, -f- «oAo + ^oAi-F 6iAo= o,
m (m — i) A,„-T-(m-i- \)ao\m^i -h b^X^-^ ^1 A,,;,-t-. . . = o,
qui donnent successivement A,, Ao, . . . , A,„^i, .... Il est donc possible de déterminer le développement, mais il se présente maintenant une circonstance bien remarquable qui dififérentle
complètement ce cas de celui où toutes les intégrales sont régulières : le développement obtenu n'est pas convergent en général, quelque petit que soit le domaine pris autour de a.
Pour le montrer, il suffira de prendre le cas particulier de l'équation
x°^ ce
dx^-^ ssives
dy
dx
«oAi
,Ao
Al
(m -h i)aoAw+i-f-[6o+ m{m — i)]A,„= o,
donnent les coefficients en fonction de Aq et il est visible que le
rapport —^^ augmente indéfiniment avec m et que par suite la
série
Ao+ Ai^ + ., .+ A/„a-"'-i-. .. ■
ne converge pour aucune valeur de x (sauf ^ =o).
Il résulte de ce qui précède que l'équation (i3) n'a pas d'intégrale régulière à l'origine, et nous avons là un exemple où le maximum (ici égal à un) du nombre des intégrales régulières donné par le théorème du § i8 n'est pas atteint.
21. La circonstance relative à la divergence du développement obtenu, qui vient de se présenter dans l'exemple particulier du paragraphe précédent, est générale. Reprenons l'équation difTérentielle d'ordre m du § 19, et l'équation (12) de degré m — h en r, que nous désignerons par
cp(/-) = o.
Si l'on pose
j = (:p— a)>\[c^-^ Ci{x — a) -t- . . .-h Ck{x — aY' -\- . . .],
on pourra déterminer de proche en proche les coefficients c en fonction du premier, en prenant pour r, une racine de l'équation c2(r) = o. On reconnaît bien aisément que, les coefficients jusqu'à Ck-\ aj'ant été déterminés, le coefficient de Cr dans l'équation du premier degré qui le détermine est
et, par conséquent, si l'équation cp(/) = o n'a pas de racine de la forme 7\-]- A\, en désignant par A' un entier positif, on pourra déterminer un développement de la forme indiquée.
Le théorème précédent comprend évidemment, comme cas particulier, le théorème relatif à l'équation fondamentale déterminante pour le cas où toutes les intégrales sont régulières, en ce qui concerne du moins la formation des développements. Mais, pour ce qui regarde la convergence des développements, nous sommes dans des conditions bien différentes. Il est clair, d'après le cas particulier du paragraphe précédent, que les développements ainsi obtenus sont en général divergents et que nous n'obtenons ainsi que des séries saûsiâisdinl for me lie nient à l'équation différentielle sans représenter une intégrale. Si les racines de C3(/-) = o sont telles que la différence de deux quelconques d'entre elles n'est pas un entier, on obtiendra m — h développements.
2!2. Les développements que nous venons d'obtenir ne sont pas les seuls que l'on puisse tirer d'une équation différentielle linéaire dans le voisinage d'un point singulier. Nous énoncerons plus loin un théorème général à ce sujet, mais considérons d'abord un point singulier d'une nature spéciale. Pour plus de simplicité, nous plaçons le point singulier à l'infini, et l'équation étant
nous supposons que tous les coefficients/? soient continus pour jc z= co, c'est-à-dire que les p soient des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de -• Nous aurons donc
ai «,
, bi bo
P2= bo-i i
Pm = fo
Po
sons
chapitrf: XI.
L'équation en u sera de même forme, et le terme indépendant de X dans le coefficient de u sera
En égalant ce polynôme à zéro, nous avons une équation d'ordre w, dont nous supposerons les racines différentes, soit À,, X.- • • • , \ni. En posant donc j' = é^^^^ u^ nous avons une équation
d"i u dx"' ~^
\d'n-Ui
\ du (l\ r,
/ dx \^ X X-
Cherchons maintenant à obtenir un développement de la forme
■^P'(^o+^ +^'-^---) (Ao^^o).
Le terme de degré maximum sera le terme de degré o, — i, et l'on aura comme coefficient de ce terme
Ao(A-;pi+ /; ) = o.
On doit par suite prendre
p étant ainsi choisi, les coefficients A<, Ao, ... se déterminent de proche en proche, et l'on obtiendra finalement pour l'équation (i3), le développement
