XX

et m — i développements analogues correspondant aux racines )vo, . . ., Xm- Mais ces développements ne sont pas en général convergents-, ils satisfont formellement à l'équation différentielle, mais ne représentent pas une intégrale.

Une remarque importante est à faire relativement aux nombres p. D'après la théorie générale des points singuliers, il y a en général jn intégrales se reproduisant multipliées par des facteurs constants

quand :r tourne autour d'un point singulier, c'est-à-dire ici, puisqu'il s'agit du point à l'infini, quand .r décrit une circonférence de très grand rayon. Si les développements que nous venons de trouver étaient convergents, nous aurions facilement les nombres w, car on aurait évidemment

co/, = e-T'^?i' ( A = 1 , 2, . . . , m ).

Mais, quand les développements sont divergents, les nombres o n'ont aucune relation simple açec les nombres co. Nous reviendrons plus loin sur les points singuliers de la nature de ceux que nous venons de rencontrer dans ce paragraphe.

!23. Dans tous les cas, on pourra toujours trouver des développements plus ou moins analogues à ceux qui ont été obtenus dans le cas particulier précédent. Enonçons seulement ici une proposition due à M. Thomé (Mémoires cités). Nous reprenons une équation ayant comme point singulier le point a, celui-ci étant un pôle pour les coefficients p. On pourra^ en général, tiou^^er m expressions de la forme

J^\x-u) (^ «)p [ Ao -f- Al (^ — a) + .

Q étant un polynôme dUin degré convenablement choisi en > 0 désignant une constante. Il est essentiel d'ajouter que

la série entière

Ao-i- Al (jc — «)-}-...

ne converge pas, en général, et que nous avons là, par conséquent, comme plus haut, une expression satisfaisant formellement à 1 équation difTérenlielle, mais ne représentant pas une intégrale.

La démonstration du théorème précédent ne présente aucune difficulté; mais, comme il y a malheureusement peu de parti à tirer de ce résultat plutôt négatif, nous ne nous y arrêterons pas. J'ajoute seulement que, dans certains cas spéciaux, les formes précédentes peuvent se trouver en défaut; il peut être nécessaire d'ajouter des termes contenant des logarithmes et même, dans certains cas, de considérer des développements où (x — a) est

remplacé par {x — a^ (p étant un entier). Je renverrai, pour ces cas particuliers, à la thèse de M. Fabry (^ ).

IV. — Calcul des intégrales irrégulières et de la substitution relative à un contour fermé. — Groupe d'une équation linéaire.

^4. Les développements que nous venons d'obtenir n'étant pas en général convergents, nous n'avons jusqu'ici aucun moyen, dans le cas des intégrales irrégulières, d'obtenir effectivement les coefficients des développements de ces intégrales dont nous connaissons seulement la forme analytique.

Supposons que l'origine soit, dans le plan de la variable complexe -3, un point singulier de notre équation différentielle. A l'intérieur d'un cercle C, ayant l'origine pour centre, et un rayon moindre que la distance de l'origine au point singulier le plus voisin, toute intégrale est une fonction analytique f{^)^ n'ayant d'autre point singulier que l'origine. Supposons le rayon /• du cercle G moindre que l'unité; nous allons montrer qu'on peut trouvai^' un développement en série de la fonction valable pour tous les points du cercle, quel que soit le chemin suivi par la variable. Faisons, en effet, la transformation

log5

Au cercle G du plan des z correspond dans le plan des x un cercle G' passant par l'origine et ayant pour centre le point

en désignant par //-le logarithme arithmétique de r; et si, comme nous le supposons, r est moindre que l'unité, aux points à l'intérieur du cercle G correspondent des points à l'intérieur du cercle G'. Par la transformation

(') E. Fabry, Sur les intégrales des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels (Paris, Gauthier-Villars, i885).

la fonction y*(s) devient donc une fonction de x, qui est holomorphe à l'intérieur du cercle C. On peut la développer suivant les puissances de

et Ton a par conséquent, pour /(^), le développement

où les A„ sont des constantes, et ce développement est valable à l'intérieur du cercle C. Aux déterminations multiples de log-3 correspondent les déterminations multiples de la fonction.

Ce développement peut être utilisé dans diverses circonstances ('). Pour les équations linéaires, qui nous intéressent ici, on peut tirer des développements précédents le calcul des coefficients de la substitution correspondant à une circulation de la variable autour de l'origine. Considérons, en effet, un système fondamental d'intéorales

données par des développements analogues au développement (i 4) et en donnant àlog3 une de ses déterminations. Quand on tourne une fois autour de Torigine, on aura, en revenant au point de départ, d'autres déterminations

qui se déduiront des premières en remplaçant log5 par log^ + irù. On devra avoir

F, (^) = an/i(^) ^ «lo/oC^) -h. . .-i- aim//«(-),

et ce sont les coefficients de cette substitution que nous nous propo-

(') E. Picard, Sur une classe de fonctions non uniformes {Comptes rendus, t. LXXXVIII, 1879).

TTNIVERSITT^

sons de déterminer. En représentant/, (z) par la série

log5 -ilr/

on aura

Or la fonction

'ilr

logz -4- '2 7r«

est une fonction de la nature de celles que nous venons d'étudier, c'est-à-dire qu'elle a le seul point singulier O dans le cercle G. On peut donc développer l'expression précédente en série suivant les puissances de

iog^ ilr

En substituant dans F, (s) ce développement, on aura le développement de F,(:3) suivant les puissances de cette différence, et la comparaison des coefficients nous fera connaître par des équations du premier degré les quantités

«11, «12, . . . , «im,

et l'on aura de même les autres quantités a. La substitution correspondante à la circulation autour de l'origine se trouvera donc ainsi déterminée; il est clair que les coefficients de cette substitution se présentent sous forme de séries indéfinies, mais on ne peut songer à les exprimer en général à l'aide de fonctions simples des coefficients de l'équation proposée.

2o. Je proposerai encore une autre méthode pour calculer la substitution relative à une circulation de la variable autour d'un point singulier. Cette méthode va même nous permettre de considérer un contour fermé comp/'enant non pas seulement un point singulier, mais un nombre quelconque de singularités. On peut supposer que le contour fermé est défini par l'équation

P(9) étant une fonction analytique de la variable réelle 0, aduiettant la période in^ de sorte que le point z revient au point de départ quand 9 a augmenté de 27:. En substituant, dans l'équation différentielle, cette valeur de B, on a une équation différentielle linéaire à coefficients périodiques et continus pour toute valeur réelle de 9. D'après ce que nous avons dit (page 92 de ce Tome et §3 de ce Chapitre), toute intégrale peut être représentée par une série convergente pour toute valeur réelle de 9. Représentons donc ni intégrales formant un système fondamental par

ces intégrales étant représentées par les séries que donne la méthode des approximations successives, et que nous pouvons regarder comme connues. Si l'on tourne une fois le long du circuit, on obtiendra

On doit avoir

/i(6 + 27:) = «n/i(e)-hai,/,(e)-i-...^a„«/,.(e),

/2(e -h 2-) = «2,/i(6) + «22/2(6) +...+ «.2mA( 0),

/„j ( 6 -h 2 - ) = a,n 1 /i (0) -t- «,«2/2 (6) + ... -h a,nmfm ( 9 ) ;

et nous voulons calculer les coefficients a. Pour obtenir

nous considérerons les m équations

/l (6 + 277) = «ii/i(0) + «12/2(6) -...+ «„„/. (0),

//"-i'(6 + 271) = «ii//"-i''(6) ^ «i2//«-iK6) + . . .+ «,../i,r-'N;6).

Pour une valeur particulière, d'ailleurs arbitraire, donnée à 9, nous aurons un système d'équations du premier degré déterminant «H, ««27 • • • 7 <^\m- Le déterminant de ces inconnues ne sera d'ailleurs pas nul, puisque nous sommes parti de m solutions formant un système fondamental. On aura donc ainsi tous les

coefficients de la substitution, en calculant de la même manière les autres lignes formées par les a.

26. La méthode précédente nous permet de faire une importante remarque sur la nature analytique des coefficients de la substitution que nous venons de calculer. Supposons que les coefficients de l'équation

soient des fractions rationnelles de x^ et, après avoir décomposé

ces fractions en éléments simples \] ^^-— r , considérons comme

des paramètres les coefficients A^Vf des différents termes. Il résulte immédiatement de ce que nous avons vu (pages 92 et 98 de ce Volume) que les intégrales

du paragraphe précédent, considérées comme fonctions des paramètres A sont des fonctions entières de ces quantités. Il en résulte que les coefficients de la substitution correspondante à un chemin fermé quelconque sont des fonctions méromorphes des h. pour toutes les valeurs de ces paramètres (' ).

27. Définissons, pour terminer ce Chapitre, ce qu'on entend par groupe d^une équation linéaire. Soit une équation linéaire à coefficients uniformes ayant dans tout le plan un nombre limité de points singuliers. Considérons un système fondamental d'intégrales

y\, ^2, •.-, ym

(') M. Poincaré démontre le même théorème dans son Mémoire Sui^ les groupes des équations linéaires {Acta mathematica, t. IV, p. 212) en s'appuyant sur les théorèmes généraux relatifs aux équations aux dérivées partielles. La méthode de calcul que nous avons suivie fait connaître immédiatement, comme on vient de voir, la nature analytique des coefficients de la substitution; on verrait d'ailleurs très facilement que la marche suivie au § 24 conduit au même résultat. On trouvera d'autres méthodes pour la recherche qui vient de nous occuper dans les Mémoires de M. Hamburger {Journal de Crelle, t. 83) et de M. Mittag-Leffler {Acta Mathematica, t. 15). Ko f> aussi le Traité d'Analyse de M. Jordan (t. III, p. 187), mon article cité page 256, et un Mémoire de M. von Koch {Acta mathematica^ t. lô).

définies dans une certaine région du plan à contour simple, ne comprenant aucun point singulier. Quand le point z, partant d'un point de cette région, y revient après avoir décrit un contour quelconque, on a, au lieu dej^nJKi? • • • • JVo rfi autres intégrales de la forme

«11 JKi -4-«i2.r2 — • ••— «im JK/«'

«21 j^i -t- «22 y-i-^- ■'— a-im y m ,

Vi ~!~ • ' ' "^ ^inmy m 1

les a étant des constantes. L'ensemble des substitutions (S) à effectuer sur j^,, y 2^ .... Vm pour trouver toutes les valeurs prises par ces intégrales en un point z^ quel que soit le chemin suivi, s'appelle le groupe de V équation différentielle. Toutes ces substitutions forment bien un groupe ; car, si l'on prend deux quelconques d'entre elles, la substitution obtenue en effectuant sur les y d'abord la première, puis la seconde, appartient encore au groupe, puisqu'elle correspond au chemin total formé par les deux chemins, répondant aux deux substitutions initiales, parcourus successivement dans Tordre indiqué. On désigne sous le nom de produit de deux substitutions la substitution résultant de la composition des deux substitutions, effectuée comme il vient d'être dit.

Si nous désignons par S et S' les deux substitutions, nous désignerons leur produit par