SS
en entendant qu'on fait d'abord la substitution S et ensuite la substitution S'. L'ordre des facteurs du produit n'est pas indifférent, et le produit précédent ne sera pas, en général, égal au produit
qui correspondrait à la substitution S', effectuée d'abord, suivie de la substitution S.
Puisque les points singuliers sont en nombre fini, tout chemin partant d'un point et j revenant se ramènera à une succession de chemin tournant autour des divers points singuliers et, par suite, toute substitution du groupe pourra s'obtenir à l'aide d'un certain
nombre de substitutions
Si, S2, . . ., S,j.
Elle sera donc de la forme
qui correspond à la substitution S, effectuée a, fois, suivie de la substitution So effectuée a^ fois, et ainsi de suite, pour revenir à la substitution S< effectuée p, fois, etc....
Remarquons que le groupe d'une équation différentielle n'est pas absolument déterminé. Nous venons de partir d'un certain système fondamental, ce qui nous a donné un groupe. En partant d'un autre système fondamental, on aurait obtenu un autre groupe ; mais il est clair que ces deux groupes sont étroitement liés Tun à l'autre. Chaque substitution du second groupe se déduit, en effet, aisément d'une substitution du premier. Soit ij la substitution permettant de passer du premier système fondamental au second; toute substitution du second groupe sera de la forme
xss-i,
s désignant une substitution du premier groupe, et 5]-' étant la substitution inverse de S.
Nous avons déjà d'ailleurs donné au Tome ÏI quelques indications au sujet des groupes des substitutions linéaires.
DES FONCTIONS UYPKRGÉOMÉTRIQUES. 29 1
DES FONCTIONS HYPERGÉ0MÉTRIQLE5.
I. — Le problème de Riemann et le groupe de la fonction correspondante ( » ).
1. Eli reprenant, après Eiiler et Gaiiss, l'étude des séries hypergéométriques, Riemann se pose un problème qui est étroitement lié à la théorie des équations différentielles linéaires, et qui sera pour nous une application des théories générales exposées dans le Chapitre précédent.
Nous allons nous proposer de trouver une fonction jouissant des propriétés suivantes : elle est uniforme et continue dans le voisinage de tout point du plan, y compris le point à l'infini, à l'exception de trois points singuliers a^ b, c\ de plus, entre trois déterminations de la fonction en un même point, existe une relation homogène et linéaire à coefficients constants; enfin, la nature de deux déterminations linéairement indépendantes est donnée comme il suit dans le voisinage de chaque point singulier. Dans le voisinage de a, on a deux déterminations linéairement indépendantes de la forme
/\ et /:, étant holomorphes dans le voisinage de a, et ne s'annulant pas pour j: ^ a. On a de même, pour le voisinage de b, deux déterminations analogues en remplaçant seulement les exposants
(') B. Riemann, Beitrâge zur Théorie der diirch die Gaiissische Reihe F'(^i?iT>'^) darstellbaren Functionen {Œuvres complètes).
292 CHAPITRE Xir.
a et a' par p et P', et enfin, pour le point singulier c, on aura les exposants y et y'.
JNous allons voir dans un moment que la somme
ne peut être arbitraire, et qu'elle doit se réduire nécessairement à un entier. Nous achèverons de fixer l'énoncé du problème en ajoutant que cette somme se réduit à V unité.
Nous pouvons, sans nuire à ia généralité, supposer que a = o,
2. Désignons alors par y< et yo deux déterminations linéairement indépendantes de la fonction cherchée y. Celle-ci satisfait évidemment à l'équation linéaire du second ordre
dx'^ clx
d-Xi dy,
dx'^ dx
d-y^ dy,
dx'^ dx
que nous écrirons sous la forme
d^ dx^-
dy
dx
qy = o.
Nous allons étudier la nature des coefficients p et q. Nous avons
yi
dx"-
(Py^ dx-^
^ dyx ^ cly^ ^' -d^ -^' ^
dyî d'~yi dyi d\v^ dx dx=t dx dx'^
. dy^
dx
yi
dy^ dx
Considérons le produit
dyx
dy-.
"' dx -^ ^ dx
et étudions-le dans le voisinage des trois points singuliers. Puisque le premier facteur se reproduit à un facteur constant près, quand on met à la place de y, et y^ une combinaison linéaire de ces
DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 298
mêmes fonctions, nous pouvons supposer que y, ely.i représentent les deux déterminations dont la forme analytique est connue dans le voisinage de chaque point singulier. Or, soit d'abord le point singulier ,2- = o -, on prendra
^1 =. x^f,{x), y. = x^'Mx), [/i(o)/,(o) ^ o].
Il résulte de là que l'expression (i) sera holomorphe dans le voisinage de ^ = 0. Il en est de même pour ^=1. Passons au point à l'infini; on peut prendre pour x très grand
Fi et F2 étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de -• En substituant dans l'expression (i), celle-ci se présente sous la forme
6(x) étant holomorphe dans le voisinage du point à l'infini. La fonction (i), étant holomorphe pour tout point à distance finie, sera uniforme autour du point à l'infini et, par suite, la somme
an- a'-h ^-T- ^3'-^- v-^ y'
se réduit nécessairement à un entier positif ou négatif.
Il n'est pas possible d'admettre que la somme précédente soit en entier supérieure à lui^ car Texpression (i) étant alors holomorphe dans tout le plan, même à l'infini, serait une constante, et, comme elle serait nulle pour j; = ce, elle serait identiquement nulle et nous aurions, par suite,
dvi clv^
ce qui entraîne — ^ const., conclusion contradictoire avec nos hypothèses.
Nous adopterons, comme nous lavons dit, l'hypothèse
L'expression (i) étant holomorphe dans tout le plan, même à P.- III. ..o
l'infini, se réduit encore à une constante, et celle-ci n'est pas nulle pour la raison que nous venons de dire.
