Nous pouvons étudier de la même manière l'expression

Elle a pour pôles simples les points ^ = o et ^r := i et n'a pas d'autre singularité à distance finie.

Dans le voisinage de x =^ co, elle est de la forme

7 (x) étant une série entière en -• Elle se réduit donc à une fraction rationnelle ajant pour pôle simple ^ = o et ^ = i à distance finie et s'annulant pour x = œ: elle est, par suite, de la forme

A et B étant des constantes.

En étudiant de la même manière le produit

dans le voisinage des points o, i et gc, on reconnaît qu'il se réduit à une fraction rationnelle de la forme

De là, nous concluons que la fonction cherchée/ satisfait à une équation de la forme

d\y Ax-hB dy , G.r^-4- D.r-nE ^^^ dx"-'^ x{x — \) dx'^ x-\x — \y^ 7-0,

A, B, C, D, E étant des constantes qu'il reste à déterminer. Cette détermination sera facile en écrivant qu'il y a dans le voisinage des points singuliers des intégrales de la forme indiquée. Nous simplifierons le calcul en supposant que

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQLKS. 2^3

ce qui ne diminue en rien la généralité du problème, puisque ceci revient à envisager, au lieu de la fonction r. la fonction

Nous supposons donc a'— [3'— o, et il nous reste quatre constantes a, 3, y et y' liées par la relation

L'équation fondamentale déterminante relative au point x =z o est, pour l'équation (2) qui a ses intégrales régulières en ce point,

r(r — i) — Br—E =0.

Elles doivent être égales k zéro et à a. On a donc

Pareillement, l'équation fondamentale déterminante relative au point X = I est

Elle a pour racines zéro et ,3. On a donc

Il ne nous reste plus que la constante C à déterminer; nous avons l'équation

Posons y = x'-'l(x), 'h(x) étant une série ordonnée suivant les puissances croissantes de -, et substituons dans l'équation différentielle. En égalant à zéro le coefficient du terme de degré le plus élevé en x, nous avons de suite Téquation en r

Cette équation doit avoir pour racines — v et — v'. On aura donc

c = Yï'.

et il faut vérifier que l'on a

ce qui a bien lien, car cette relation, en remplaçant A par sa valeur trouvée plus haut, revient à

a H- P + Y -f- y' == I • Nous avons donc finalement V équation

d^ y dy

C'est, avec un changement seulement dans les notations, V équation différentielle à laquelle satisfait la série hypergéométrique (Chap. XI, § 14).

Si, au lieu de supposer et! ^ '^' z= o, nous les avions laissés arbitraires, nous aurions obtenu par un calcul tout semblable l'équation du second ordre correspondant au cas général, qu'il est inutile d'écrire. Remarquons seulement que cette équation n'aura d'intégrales de la forme voulue que si aucune des différences

n'est un nombre entier. C'est d'ailleurs une hypothèse que Riemann fait explicitement dans son Mémoire. Nous savons, d'après les généralités du Chapitre précédent, que des logarithmes s'introduiraient dans la forme des intégrales si quelqu'une de ces différences était entière.

4. Reprenant, pour plus de symétrie, les six exposants a, a',

p, [^', Y, y' correspondant aux points singuliers a, ^, c, désignons

par

Poe et Pa'

les deux solutions de la forme indiquée dans le voisinage de.r :^ a; chacune d'elles est déterminée seulement à un facteur près. Soient pareillement

Pp et P^' puis Py et Py

les solutions correspondant aux points b et c. Traçons dans le plan un contour fermé F (un cercle, par exemple), passant parles trois points a, b, c {fig- 1 i). Les six fonctions

Pa, Pc, Pp. Pp', Py, Py

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 297

sont holomorphes à l'intérieur de F et à l'extérieur de cette courbe, puisque dans tout le plan, j compris le point à Tinfîni, elles ont seulement pour points singuliers les trois points a, 6, c.

Considérons les fonctions précédentes à l'intérieur de F. On doit avoir entre elles des relations de la forme

(3) - Pa=«^P^-i-a^.Pp',

Pa = «vPy-r- «Y Py,

les coefficients a étant des constantes. Considérons les quotients de deux coefficients de même indice inférieur; de ces quatre quotients

f/g âfO, a^ CLy,

trois doivent être déterminés en fonction du quatrième, puisque les six fonctions P sont déterminées chacune à un facteur constant près. C'est cette détermination que nous allons effectuer avec Riemann.

Quelle que soit la détermination considérée, on a deux chemins équivalents en tournant une fois autour du point c dans le sens positif, et en tournant successivement autour de a et ^ dans le sens négatif. Prenons par exemple Pa; quand la variable tourne une fois dans le sens positif autour de c, P^ se change en

«y e27:n; p^ | ^,,, g27iiy' p^„^

comme le montre de suite l'expression de P^ en fonction de Py et Py-; quand la variable tourne successivement autour de a et 6 dans le sens négatif, P^ se change en

On a, par suite, la relation à laquelle nous adjoignons l'égalité

On a deux relations analogues, en remplaçant a par a' et les coefficients a par les coefficients a'. En éliminant Py et Py' entre ces quatre relations, on aura deux relations homogènes et linéaires entre Pp et Pp , et, par suite, dans ces dernières, les coefficients de Pp et Pp seront nuls, ce qui va nous donner quatre équations entre les a.

Un calcul très facile donne ainsi les quatre équations

[^ + Y')7r «p' e-^7^'' sin(a -+- ^'-1- Y')ii

) a' a'o e-^''"^' sin(a'-

[^ + 7')'^ <^S' e-^'''"'' sin( a'-f- ^'-h Y'jti 1 a^' a^ e-s^T^' sin(a + p + Y)tc «p' e-^Ti' sin(a H- B'-4- 7)71 l a'y, a'o e-a'7^' sin(a'H- p + YJTT ~~ a'o. e-^'^ sin(o('+ ^'-f- y)''^

Ces quatre relations se réduisent à trois, comme il doit être, d'après ce que nous avons dit plus haut. On trouve, en effet, deux fois la valeur du quotient

La comparaison de ces valeurs donne

sin(a -h P'+ y'jtt sin(a'+ [3 + Y)'k sin(a -+- P'-f- y)^^ sin(a'-f- p -t- ^()'k sin(a -h p -h y'ji^ sin(a'+ {3'+ y')tc ~ sin ( a' + [B'h- y)'J^ sin(a-i- ^ -+- y)"?^ '

équation qui est bien vérifiée à cause de l'égalité

o. La recJiej'cJie précédenLe conduit à la détermination du groupe de U équation. Remarquons d'abord que, si l'on a un système de nombres a satisfaisant aux relations (5), il y aura certainement six déterminations

(G) Fa, Pa', Pp, Pp', Py, Py'

de la fonction, ayant la forme indiquée autour des points singuliers

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQLES. 299

et satisfaisant aux relations (3). En effet, en multipliant les six déterminations précédentes par six constantes arbitraires, on peut faire que les coefficients, remplaçant les «, aient telles valeurs que l'on veut, pourvu que les rapports des quotients (4), correspondant aux nouveaux coefficients, aient les mêmes valeurs que pour les anciens. Nous pouvons donc considérer que nous avons un système de déterminations (6) répondant aux relations (3), où les coefficients a sont arbitraires, sauf qu'ils satisfont aux relations (5). Si alors nous nous attachons aux deux solutions

qui forment un système fondamental, il est facile de trouver les substitutions correspondant à une rotation de la variable autour des points a et h. Pour le point <2, nous avons immédiatement la substitution, puisque P» et Pa- deviennent respectivement

e27:/ap^ et e^T^^a'Pa'.

Quant à la seconde rotation, nous trouverons la substitution correspondante en prenant Pa et P^' sous la forme donnée par les deux premières des formules (3). Alors, nous voyons que Pa et Pa' deviennent respectivement pour une rotation positive autour du point h :

Remplaçons alors P^ et P^- par leurs valeurs en Pa et Pa-, nous aurons la substitution cherchée. Pour faire ce calcul le plus rapidement, écrivons

Pa = «^P^ ^«.3'P^-,

Pa = >^«?P^+ À'«^'P^', en posant

on aura, pour les expressions (6),

XX'(e27r/p ^27:/^') X'e2u/p' Xe^^'l

Le rapport ^ est donné par les formules (5) en fonction des a,

(3, y. Il reste donc seulement dans cette substitution, une constante arbitraire. 11 devait bien en être ainsi, puisque P^ et P^' sont déterminés seulement à un facteur constant près. Pour avoir des substitutions entièrement déterminées, posons

(X'-)OPa=w, Pa = ^'.

La rotation autour du point a donnera la substitution

La rotation autour du point b donnera la substitution

/ X'e27r/p Xe2TOP'

^"^ ^ , XX'(e27r/p e2Tî/p') X'e^Ti/^'— Xe2Tt/,S

'= (r^îy^ — "+ — r^^ '-

Nous n'avons plus maintenant, dans les substitutions (S,) et

(22)7 aucune indéterminée, puisque y est connu et égal à

sin(a -h (â'-i- Y')'7r.sin(a'+ ^ -t-Y')^^ sin(a'+ ^' -+- y')-!!, si 11 (a -h ^ h- y')'J^

Par suite, nous pouvons regarder les deux substitutions S, et So comme les deux substitutions fondamentales du groupe de V équation différentielle hyper géométrique prise sous sa forme la plus générale.

Nous voyons donc comment les considérations développées par Riemann permettent de trouver facilement le groupe de l'équation différentielle hypergéométrique. Après avoir étudié l'expression des fonctions P sous formes d'intégrales définies, nous aurons à revenir, dans la Section suivante, sur ce groupe en le donnant sous une forme plus simple que celle que nous venons d'obtenir.

La méthode suivie par Riemann n'en reste pas moins la plus intéressante, puisque les principales propriétés de la fonction sont

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 3oi

déduites uniquement de sa nature au voisinage des points singuliers, sans recourir à aucune représentation effective de cette fonction.

On retrouve dans les quelques pages du petit Mémoire de l'illustre auteur l'esprit original et profond, excellant à prendre les questions de haut, que nous avons déjà eu l'occasion d'admirer dans la théorie des intégrales abéliennes.