II. — Intégrales hypergéométriques

6. Appelons intégrale hyper géométrique une intégrale de la forme

y = I [u — «1 )*i-^ ( u — a.,)*^-^ ( u — xy^-'^ du

dont les limites g et h sont deux des quantités a^, «2 et <^- On suppose, bien entendu, que l'intégrale ait un sens. Si donc, par exemple, on prend l'infini pour une des limites, c'est que

L'intégrale considérée est une fonction de œ et satisfait à une équation différentielle, que nous allons former. Posons

U = (ii — ai)b-i{u — aoy^-K

Nous aurons, en appliquant la règle de dififérentialion sous le signe d'intégration

g..(X i)^jr u{u-x)y-^^du,

^=(x-i)().-7)jr i]{u-x)->^-^du.

Cela étant, considérons la fonction

G{u)= (w — ai)*.(zi — rt,)*^^ — a7)>^-2;

elle s'annule pour les limites g et h que l'on a choisies, du moment que, pour ces limites, l'intégrale a un sens. Calculons la

différentielle de G(w) : si l'on pose, pour abréger,

f{u) = {u — ai){u — a,), c^{ii) = bi(ii — a.2)-h biia — a^)^ il vient

dG{ii) = V(f(u){u — x)'^-''du + {l — 2)Vf(u){ii — x)'>^-^du. D'autre part,

On a alors

(> — i)^G(w)= {\ — i){l — i)f{x)V {u — x)'>^-^ du

-{-{l — i)V[^f{x)-\-{l — ■i)f\x)]{u — x)>^--^du

-^IJÏO^- i)^\x)-i-^'^' ^ '^1^'^ ~^'^ f'ix)\(a-x)-^-^ du.

En intégrant les deux membres de cette identité entre g et A, et se reportant aux valeurs de -j- et -r^, on trouve

Telle est donc l'équation linéaire de second ordre, à laquelle satisfont les fonctions y.

Dans le cas où l'on fait

ai =0, a-i = I, et de plus

on a l'équation différentielle

d^ y dv

qui est l'équation hypergéométrique, sous la forme considérée par Gauss.

DKS FONCTIONS IlYPERGÉOMÉTRIQUES. 3o3

7. Nous avons supposé dans ce qui précède les constantes 6<, b-j,-, A telles qu'une intégrale de la forme indiquée ait une valeur déterminée. On aura dans tous les cas une intégrale de l'équation

Fis:. 12.

différentielle en procédant de la manière suivante : Partons du point Uq (distinct de a,, «o et oo), en donnant à l'expression

une de ses déterminations, et prenons l'intégrale

(7) J{u — a,)b.-^ {il - a.)b.-i {u- xj^-^ du,

en décrivant dans un certain sens un contour C, autour de a,, puis un contour C2 autour de <22i ensuite le contour G<, mais en sens inverse, et enfin le contour G2 également en sens inverse {fig- 1 2). La fonction G(w), considérée ci-dessus, reprendra évidemment la même valeur quand a reviendra en Uq après avoir décrit le contour complexe qui précède, et, par suite, nous aurons une solution de l'équation différentielle en prenant l'intégrale le long de ce contour. Si l'on suppose que l'intégrale (7) reste finie pour w = a, et w := «o, on retrouvera bien ainsi l'intégrale du § 6. Soient, en effet,

Ua, et Va,

les intégrales (7), prise de Uq en a, et de Uq en a^. avec la valeur initiale choisie pour la fonction sous le signe d'intégration. L'intégrale correspondant au contour complexe sera

c'est-à-dire

3o4 CHAPITRE XII.

et la différence U,,^ — U,,^ représente précisément l'intégrale (7) prise de a, en «2-

8. Nous avons, au § 6, donné aux limites g et h les valeurs a,, «2 et oc; on peut aussi donner à ces limites la valeur x. Démontrons-le en supposant que les différentes intégrales obtenues en donnant k g qI h deux des valeurs

«1, ai, X, oc

aient un sens; la proposition sera évidemment générale. Il faudra seulement recourir, dans le cas contraire, aux intégrales considérées dans le paragraphe précédent. Prenons encore un point arbitraire Uq et traçons les lignes

Wo^i, UoT, Uo<^i^ UqCO,

ces lignes se suivant autour de Uq dans l'ordre qui vient d'être

indiqué (y?^. i3). C'est la figure toute semblable à celle que nous avons faite (tome II, p. 223). En désignant par

les valeurs de l'intégrale (7) prise de Uq en a,, ^, «2 et oc avec une même valeur initiale pour la fonction sous le signe d'intégration, nous aurons, comme à la page 224' (tome II),

Cette formule montre immédiatement que

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 3o5

s'exprime par une combinaison linéaire et homogène de

et est, par suite, une intégrale de l'équation différentielle. Il en est de même de U:r — U„, et U^ — U^.

9. Nous avons, dans la Section I, trouvé, d'après Riemann, le groupe correspondant à l'équation différentielle du second ordre dont Tétude fait l'objet de ce Chapitre. On peut nécessairement donner au groupe différentes formes. La considération des solutions de l'équation sous forme d'intégrales conduit à une forme très simple des deux substitutions fondamentales du groupe pour deux solutions particulières bien précisées. C'est ce que nous avons montré au Tome II (pages 224 et suivantes). Il nous suffira donc de nous reporter à ce passage, en remplaçant seulement a et b par bi et ^o, et les points o et i par «j et a.2. Nous avons considéré les deux intégrales

Wi= U.r— U,,,, CO2 = Uj-— Ua..

Les deux substitutions fondamentales Si et So du groupe correspondant respectivement à une circulation dans le sens négatif autour de «, et à une circulation dans le sens positif autour de «o sont

(Si) (S.)