Si l'on pose
\ W; = t02-^ [e-2 6,-r-A,7:/ e-2A7:/j toj,
\ O)'; = to,-h [e2 ^+>j7:/ e2).7î/] w.,
ri!.
on pourra faire correspondre au groupe précédent un groupe linéaire relatif à :; dont les substitutions fondamentales sont
^^^ L' iH- (e-2(6.+).'7i/ e-2).7î/^ - J '
(S2) [z, e-2(6,+X)TO--f.(i e-26,7:/)].
3o6 CHAPITRE XII.
Nous allons montrer, en supposant réels 1, b^ et 60, ({vC on peut trouver un cercle qui est transformé en lui-même par les substitutions (S<) et (S2).
Remarquons d'abord que, z désignant x -\- iy, Téqualion d'un cercle peut se mettre sous la forme
Ps.zz(f-^ B^ i-Bo.«o+ G = o,
A et G étant des constantes réelles, B et Bq étant des constantes imaginaires conjuguées, et Zq désignant x — iy.
En écrivant que le cercle est transformé en lui-même par la substitution (So), on obtient les deux équations
B(i — e-26.7r/)4 Bo(i — e+26,7îi) ^ G (e26,7i/i) (e-:6,u/,^ ^ o, B (e2(/.,+>jTO i) 3= G(i — e2^i7t'),
et l'on voit facilement que la première est une conséquence de la seconde.
Pareillement la substitution (2<) conduit aux deux équations
3(1 — 6-2^7^') -+- Bo(i — e+2A,7i/j ^ A([ — e-2/-'.7î')(i — e'^^'^'^i) = o, B (e2(A,+)j7i/ 1) = A (i — e^'b,-Ki),
qui se réduisent aussi à la seconde.
On a donc seulement les deux équations
B [e2(/.,+)jTO ,] — A [[ — e2/''.7ï'J, B [e2(^+X)TO ,] = G [ 1 — e2^Tt'J.
Il faut qu'on puisse satisfaire à ces équations en prenant A et C réels. On voit de suite qu'il en est ainsi, car on peut remplacer la seconde équation par la suivante :
et l'on s'assure que le second membre est réel, en remarquant qu'il ne change pas quand on change i en — i.
La circonférence que nous venons de trouver peut être réelle ou imaginaire. Elle sera réelle si
BBu— AG>o,
comme il résulte de l'équation du cercle, mise sous la forme
( A ^ + Bo)( A^o+ B) H- AG - BBo = o.
DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUKS. So'J
En substituant les valeurs trouvées pour A, B, C, celte inégalité devient
Suivant la valeur numérique de X, bi et 60, le premier membre peut être tantôt positif et tantôt négatif ( * ).
11. Faisons encore une remarque relative aux substitutions de la forme
a, 6, c, d étant des constantes. Une telle substitution transforme une circonférence en une circonférence; c'est ce que l'on voit de suite en mettant Téquation de la circonférence sous la forme dont nous nous sommes servi plus haut
A^Jo~i~ B^ -h Bo-Sq-t- g = O.
cz 4- d
En mettant ^^^ ^^ à la place de z^ on a une équation de même forme.
III. — Représentation conforme au moyen du rapport de deux solutions de l'équation hypergéométrique.
