Reprenons l'équation différentielle du second ordre

et désignons par y< et yo deux solutions linéairement indépendantes de cette équation. Posons

(') J'ai développé les calculs que je ne fais quindiquer ici dans mon Mémoire Sur les fonctions hyper fuchsiennes provenant des séries hyper géométriques de deux variables {Annales de l'École Normale supérieure, i885). Dans le domaine de deux variables complexes indépendantes, le cercle précédent est remplacé par une hypersphère.

3o8 CHAPITRE XII.

et regardons cette équation comme établissant une relation entre X et z. Pour une valeur déterminée Xq de x^ distincte de o, i et 00, supposons que z prenne la valeur ^o (celle-ci pouvant être infinie). L'équation (8) donnera pour x une fonction de z holomorphe dans le voisinage de z^ et prenant pour ^ = ^o la valeur ^Tq. Pour le démontrer, supposons d'abord Zq fini; l'énoncé précédent ne serait inexact que si la dérivée de — et par suite

dy^ dyy

s'annulait pour ^ = ^0. Or ceci est impossible, car il est évident quesijKi ^^ y2 désignent deux solutions distinctes de l'équation linéaire du second ordre

d'^y dy

on a

d^^-^PT^^'iy^"'

G étant une constante différente de zéro, et par suite le premier membre de l'identité précédente est différent de zéro pour une valeur de x distincte des points singuliers.

Si ^0 était infini, c'est-à-dire si y^ s'annulait pour ^ = ^0, cette racine ^0 serait simple, l'autre intégrale y^ ne s'annulerait pas pour cette valeur de x^ et l'on aurait alors dans le voisinage de Xq

ri A

J^2 X — Xq

les termes non écrits étant holomorphes : il est clair que l'inversion se fera d'une manière uniforme dans le voisinage de ^ = oo.

Il résulte de la remarque précédente que, si l'on a dans le plan de la variable x une aire limitée par un contour simple et ne contenant aucun des points singuliers o, i et 00, V équation

Il z=^

fe/a correspondre à cette aire dans le plan de la variable z une aire également limitée par un seul contour, et à V intérieur

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQLES. 809

de laquelle ne se trouvera pas de point critique de la fonction

X de z. Il n'en faudrait pas conclure que Ton aura nécessairement

ainsi deux aires se correspondant point par point; il peut arriver

qu'à un point z correspondent plusieurs valeurs de x^ et que par

suite l'aire dans le plan z se recouvre partiellement elle-même. H

est aisé de donner un exemple simple d'une telle circonstance;

prenons la relation

et dans le plan x une aire simple ne comprenant pas l'origine et telle que la symétrique par rapport à l'origine de certaines parties de l'aire soit contenue dans celle-ci. On aura comme figure correspondante dans le plan z une aire limitée par un seul contour, ne comprenant pas l'origine à son intérieur^ mais qui se recouvrira partiellement elle-même, de façon qu'à certaines valeurs de ; correspondront deux valeurs de x.

13. Nous allons supposer maintenant que dans l'équation différentielle a, ,3 et y sont réelles et nous voulons chercher quelle est dans le plan z la figure correspondant au demi-plan P de la variable x situé au-dessus de l'axe des quantités réelles ('). Dans le demi-plan P, z est une fonction uniforme de x, puisque j', et JK2 n'ont comme points singuliers que les points o, i et ce.

Partageons, dans le plan x^ l'axe des quantités réelles en trois

segments

Considérons l'un de ces segments; soit, pour fixer les idées, le segment o, i . Je suppose d'abord qu'en un point réel x^i, compris entre o et i , on se donne des conditions initiales réelles pour les deux intégrales jKt et y.2 ; celles-ci seront réelles pour x réel et compris entre o et i et il en sera de même du rapport

(«) Cette étude a été faite pour la première fois par M. Schwarz dans son célèbre Mémoire : Ueber dienigen Fàlle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt {Journal de C relie, t. 75).

3lO CHAPITRE XII.

et, par suite, le point z décrira un segment de l'axe des quantités réelles dans son plan quand x variera entre zéro et un. Gomme on a

dz ^ ^^îb^-^'-d^ ^ G^ e-/^~!rr-.r^-^"

dx^ y\ ~ y\ '

il en résulte que, suivant le signe de G, z ira constamment en croissant ou en décroissant quand x croîtra. 11 y aura donc une correspondance bien déterminée entre le segment (o, i) du plan x et un segment (qui pourra contenir le point à l'infini) de l'axe réel du plan z.

Si, au lieu des intégrales que nous avons considérées et qui sont réelles pour x entre zéro et un, nous avions pris deux intégrales quelconques, cherchons quelle eût été la courbe correspondant au segment (o, i). La recherche est facile; au lieu de jK) et y-^-j nous aurions les deux intégrales

P^i + Qr-i, R7.--SJ,,

P, Q, R, S étant des constantes et, par suite, au lieu du rapport 3 considéré plus haut, le rapport

Or, quand le point z décrit un segment de l'axe réel, le point

r^ ^ décrit un arc de la circonférence correspondant à l'axe réel.

Il en v^s\\\lQ (\vi au segment (o, i) correspond uniformément un arc de cercle.

Reprenons donc notre question. Ayant fait choix de deux intégrales distinctes, d'ailleurs quelconques, nous posons

Il - ^

et nous considérons le demi-plan P. A chacun des segments de l'axe des quantités réelles correspondent dans le plan :; trois arcs de cercle. Quand x parcourt l'axe réel de — go à H- 00 (en évitant seulement par des petites courbes situées au-dessus de l'axe réel les points o et i), le point z décrit, en marchant toujours dans le

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 3l 1

même sens, les côtés d'un triangle curviligne formé d'arcs de cercle. Les trois sommets de ce triangle correspondent respectivement aux points o, i et x.

Cherchons les angles de ce triangle. Nous désignerons par a, b, c les trois constantes réelles positives

Dans le voisinage du point jr = o, l'équation différentielle a deux solutions de la forme

/, et/o étant holomorphes et différents de zéro pour .r := o. Il en résulte que, pour ce choix particulier d'intégrales, et par suite pour toutes (pour que Ton passe d'une détermination ; à une autre par une substitution n'altérant pas les angles), l'angle des deux côtés du triangle au sommet qui correspond k x = o. compté dans F intérieur de l'aire, sera égal à

puisque l'argument de x'~^: varie de (i — y)-:: quand ^ est à gauche et à droite du point o sur l'axe réel. Si l'angle a- est supérieur à 27:, l'aire du plan des z se recouvrira elle-même.

On verra de la même manière que l'angle compté dans l'intérieur de l'aire est éoal à

pour le sommet qui correspond k x = \ ^ ce qui résulte de l'existence de deux intégrales de la forme

Enfin pour le sommet correspondant à ^= ce, on aura l'ano-le car on a les deux solutions, pour x très grand,

/, et/o étant holomorphes et différents de zéro pour jr = ^d et

3l2 CHAPITRE XII.

l'on voit alors que, dans le quotient —, s'introduit le facteur .2:°' P.

Ainsi nous arrivons à la conclusion qu'a;/ demi-plan correspond, dans le plan z, une aire à contour simple, limitée par trois aires de cercle; cette aire peut se recouvrir parliellemenl elle-même et aussi contenir le point à l'infini.

Nous avons supposé implicitement qu'aucune des constantes a, b, c n'était égale à un entier. Prenons par exemple a, et supposons que y = I. D'après la théorie générale des points singuliers réguliers, nous aurons dans le voisinage de .2^ = o les deux intégrales

Le rapport — est alors de la forme ^^ Il

'■^{x) étant holomorphe dans le voisinage de ^ =::= o et à coefficients réels. Quand ^ s'approche de zéro sur le segment (i, o), z s'approche de — 00 sur l'axe réel, et ensuite quand x^ décrivant un demi-cercle infiniment petit pour éviter le point o, suit le segment (o, — co), le point z décrit une parallèle à l'axe réel, d'ordonnée 71, et en venant également de — ce. L'angle sera donc égal à zéro.

On vérifiera de même que^ si a = i, l'angle des deux côtés du triangle sera égal à ti, de sorte que le résultat énoncé plus haut est général.

14. Abordons maintenant un cas particulièrement intéressant où l'on aura une correspondance uniforme entre le demi-plan P et l'aire correspondante du plan z. Ce cas est celui où l'on a à la fois

Nous allons voir que l'on a alors d'une manière uniforme une représentation conforme du demi-plan sur un triangle d'arcs de cercle. Nous le montrerons bien nettement en suivant par continuité à partir d'un cas pour lequel la question ne présente aucune difficulté.

Si l'on prend; pour les trois constantes de la série hvpergéo-

LES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 3l3

métrique,

on a, pour une des intégrales, une constante, et pour l'autre

M-To(^M— l)To-?o-l<iM,

et cette expression peut servir à effectuer la représentation conforme du demi-plan P sur un espace limité par trois droites. Posons, comme plus haut,

«o=li — Vo', ^o=|?ol, Co=iYo— ?oI-

Nous supposons

«0<'î, bo<-l, Co<2,

de façon que les sommets ne soient pas des points de ramification. Le contour ne pourra se couper lui-même, car alors les trois droites ne limiteraient plus une aire (voir, pour ces questions déjà étudiées au tome II, le Chapitre de ce Tome relatif aux représentations conformes, pages 278 et suivantes). Si l'on a en particulier

on obtiendra, en égalant l'intégrale ci-dessus à :•, un triangle rectiligne tout entier, à distance finie, avec les angles

«o", ^0", Co",

en posant alors

rto = i — 70? bo=%, <:*o = 7o— °o,

et la somme de ces angles est bien égale à t:.

Imaginons maintenant que l'on parte de ces dernières valeurs de ao, i^o, yo ; l'équation hjpergéométrique correspondante nous donne la représentation du demi-plan sur un certain triangle rectiligne. Faisons alors varier les coefficients a, ^, y à partir de ces valeurs de ao, ^07 Jo] la représentation se fera sur un triangle d'arcs de cercle, et l'on peut supposer que les sommets restent les mêmes, puisqu'on dispose de trois constantes dans le rapport des deux intégrales. On suppose d'ailleurs que a, p, y varient de

3l4 CHAPITRE XU.

manière que l'on ait toujours

Le triangle d'arcs de cercles est d'abord peu différent du triangle rectiligne initial. Il ne peut pas arriver que, pendant la déformation, deux côtés du triangle se coupent entre eux, car cette circonstance ne peut se présenter que si, à un certain moment, les côtés ont fait entre eux un angle égal à zéro ou à 27:; or nous pouvons faire varier a, [3, y de manière que

varient depuis leur valeur initiale «o, ^o, <^o jusqu'à leur valeur finale sans passer par zéro ou par deux dans l'intervalle.

Il résulte de ce qui précède que, pendant la variation continue des paramètres, nous ne cessons pas cr avoir dans le plan z une aire simplement connexe, ne se recouvrant pas partiellement elle-même, et donnant une représentation conforme du demiplan P; cette aire est un triangle curviligne dont les côtés sont des arcs de cercle. Les angles intérieurs de ce triangle sont respectivement égaux à «7:, biz et cr.^ chacun de ces angles étant par hypothèse inférieur à 271.

15. La question de la représentation conforme des triangles d'arcs de cercle sur un demi-plan (ou sur un cercle, ce qui revient au même) peut être posée a priori, et, en analysant ce problème, on retrouve l'équation différentielle de la série hypergéométrique. Nous ne nous placerons pas à ce point de vue qui a fait l'objet d'un Mémoire de M. Schwarz (^); nous allons seulement former, en partant de l'équation linéaire du second ordre qui vient d'être étudiée, l'équation différentielle du troisième ordre,

à laquelle satisfait le rapport z := ~

Soit, d'une manière générale, l'équation linéaire d'^y dv

(•) H. -A. Schwarz, Ueber einige Abbildungsaufgaben {Journal de Crelle, t. 75). M. Darboux a consacré un très intéressant Chapitre à ces questions dans le Tome I de ses Leçons sur la Théorie des surfaces, p. 170.

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 3l5

dont r, et V2 représentent deux intégrales distinctes. Le rapport

dépend manifestement de trois constantes arbitraires, puisqu'on peut remplacer j-, etyo par des combinaisons linéaires. Il satisfait donc à une équation du troisième ordre que nous allons former. Le calcul est immédiat; si l'on forme

dz^ d^ d^z^

dx ' dx' dx^ *

si l'on différenlie — * on aura, en se servant de l'équation diffélentielle, les expressions de ces trois dérivées au moyen de

dj'i dy=> •^'" •^'•^' -di' lu'

En y joignant z =^ —j on a quatre relations homogènes en jki,

y.,^ ~^j -~' L'élimination de ces quatre quantités donne alors l'équation cherchée. On trouve ainsi

^dzd^fd^ ' dx^ \ dx-2 1

dx dx^ \ dx- ) i ^ dp

rfï\^ — - = ^î - -^J'— di

\dxj

Dans le cas de l'équation hypergéométrique, le second membre se réduit à

en posant, comme nous l'avons fait précédemment,

Ceci nous explique pourquoi les quantités qu'on peut supposer positives a, 6, c jouent seules un rôle dans les questions relatives

au rapport —y comme nous l'avons constaté plus haut.

16. Nous avons obtenu (§ 14) la représentation conforme du demi-plan sur un triangle formé par trois arcs de cercle, au

moyen du quotient de deux intégrales de l'équation lijpergéomélrique. Nous allons passer de là facilement à une représentation du plan tout entier sur lequel sont tracées deux coupures.

Supposons d'abord que la représentation du demi-plan P ait été faite au moyen du rapport de deux intégrales réelles sur le segment (o, i). Traçons sur le plan la coupure (— od, o) et la coupure (i , +co) que le point x ne va pas franchir. Dans ces conditions, le rapport z est une fonction uniforme de x dans tout le plan. A la partie supérieure du plan des^r, c'est-à-dire au plan P correspond dans le plan z, d'après les paragraphes précédents, un triangle T d'arcs de cercle ; un des côtés de ce triangle est rectiligne ici : c'est celui qui correspond au segment (o, i). Puisque la fonction z est réelle sur le segment (o, i), elle prendra des valeurs imaginaires conjuguées p6urdeux valeurs de x imaginaires conjuguées, c'està-dire pour deA points symétriques par rapport à l'axe réel. Par suite, au demi-plan inférieur correspondra un triangle d'arcs de cercles symétrique du triangle T par rapport à son côté rectiligne. L'ensemble du triangle T et de son symétrique correspondra donc au plan x tout entier dans lequel on a tracé les deux coupures

TTVj

(—ce, o) et (i, -}-cc). On aura, par exemple, les figures suivantes où l'on représenté le plan x et le plan z.

Soit d'abord le triangle ABC avec le côté rectiligne AB, qui correspond au segment (o, i); nous figurons le triangle ABC sy-

métrique de ABC par rapportie/AB. Le quadrilatère ACBC donne une représentation conforme du plan ^ où sont tracées les cou-

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 3 [7

pures ( — 3C, o) et (i, +00). Le côté AG correspond au bord supérieur de la coupure (o, — ce) et le côté AC au bord inférieur de cette même coupure. Ainsi à deux points m et m', considérés comme appartenant respectivement aux bords supérieur et inférieur de la coupure ( — ce, o), correspondent deux points M et M' situés sur AG et sur AG'. En désignant par ::; et z' les affixes de ces deux points, on aura

et la substitution

correspond précisément à la rotation mpni' elFecluée par x autour de O dans le sens négatif.

Il y aurait de même une seconde substitution

transformant BG en BG'* Les côtés du quadrilatère AGBG' se correspondent donc deux à deux par une substitution linéaire.

Dans la figure que nous avons dessinée, nous avons supposé que le triangle AGB était tout entier au-dessus de AB; il pourrait en être autrement, et alors le quadrilatère total pourrait se recouvrir partiellement lui-même.

Si, au lieu de prendre le rapport z de deux intégrales réelles sur le segment (o, i), nous avions pris le rapport de deux intégrales quelconques, le triangle ABC n'aurait plus eu de côté rectiligne. La figure obtenue aurait été la transformée du quadrilatère AGB G' par une substitution quelconque de la forme

az^b\ ^'' cz-^d)

Or, une telle substitution transforme le segment de droite AB en une circonférence; il s'agit de savoir ce que deviennent deux points P et P' symétriques par rapport à AB. Désignons par a^S le segment d'un cercle F correspondant à AB, et soient t: et -' les transformées de P et P'. Tout cercle passant par P et P' est orthogonal à AB; donc tout cercle passant par - et -' est orthogonal

,^ OFTHc '^

TT xr T T^ T-i

3l8 CHAPITRE XII.

à r (la transformation transformant les cercles en cercles et conservant les angles).

En particulier, la droite titt' sera normale au cercle F et, par suite, passe par son centre E. Or, on sait que deux points t: elrJ,

situés sur le diamètre d'un cercle et tels qu'un cercle distinct de ce diamètre et passant par ces points soit orthogonal au cercle, sont conjugués par rapport à celui-ci, c'est-à-dire que

R désignant le rayon du cercle. Les deux points tt et ti' se correspondent donc dans la transformation par rayons vecteurs réciproques, qui laisse invariables les points de T. Les deux triangles ay[^ et ay'l^ correspondant respectivement à AGB et AC'B sont donc transformés l'un de l'autre par une inversion relative au cercle F; on peut dire encore qu'ils sont X image V un de Vautre par rapport à ce cercle (^), comme on le dit pour le cas où ajî> se réduit à un segment rectiligne.

IV. — Remarques générales sur les substitutions linéaires transformant un cercle en lui-même.

17. Nous aurons à considérer, dans le Chapitre suivant, des substitutions linéaires transformant un cercle en lui-même. Telles sont les substitutions du groupe de Féquation hypergéométrique,

(') Cette notion de l'image d'une figure par rapport à un cercle avait été déjà posée par Riemann dans ses Travaux Sur les surfaces minima. Elle a été particulièrement développée par M. Schwarz dans les Mémoires que nous avons déjà cités.

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. SlQ

dans le cas où le cercle obtenu au § 10 est réel. On peut toujours supposer que le cercle se réduit à une droite, et que cette droite est l'axe des quantités réelles.

Une substitution linéaire transformant la droite en elle-même

est alors de la forme

/ az^b

a^ 6, c, d étant réels, et l'on supposera, comme il est évidemment permis, que

ad — 6c = I.

Ceci posé, cherchons les points que la substitution laisse invariables. Ils correspondent à l'équation

az^h cz -\- d

c'est-à-dire à l'équation du second degré

(8) cz'^-^{d—a)z — h^o.

La quantité sous le radical

{d— a)-2-T- \hc

se réduit (en tenant compte de la relation ad — 6c = i) à

{a-^dy-\.

Nous avons donc différents cas à examiner suivant le signe de cette différence. Remarquons auparavant que, conformément à la théorie générale de la réduction des substitutions linéaires, on peut, par un changement linéaire de variables, ramener la substitution à la forme

(Z, uZ),

ui étant le rapport des racines, supposées distinctes, de l'équation en ).

Si cette équation a ses racines égales, la substitution se ramènera à la forme

On doit remarquer que la quantité sous le radical est la même pour les deux équations du second degré (8) et (9).