Supposons maintenant

Nous pouvons encore donner à la substitution la même forme, mais alors a et ^ sont imaginaires conjuguées, et jjl est une quantité imaginaire dont le module est égal à i. Les deux points doubles sont imaginaires et il ny en a, par conséquent, qu'un dans le demi-plan supérieur.

Soit

0 étant réel. La substitution

transforme une courbe passant par Z = o en une autre courb

(') La classification des substitutions linéaires à une variable a été faite par M. Klein dans ses Travaux Sur la transformation des fonctions elliptiques.

DES FONCTIONS HYPERGÉOMÉTRIQUES. 321

par le même point, et les deux, courbes font visiblement entre elles, en ce point, l'angle 9. Par suite à une courbe, passant par le point ^ = a, correspondra une courbe passant par le même point et faisant avec elle l'angle 9. On dit ici que la substitution est elliptique.