I. — Les fonctions de M. Schwarz

1. Nous allons maintenant étudier des cas étendus, signalés par M. Schwarz, où l'inversion du quotient de deux intégrales de l'équation différentielle hypergéométrique conduit à une fonction uniforme. Nous voulons donc que, y^ et yo désignant deux intégrales distinctes de cette équation, la relation

donne pour x une fonction uniforme de z-.

Revenons d'abord aux constantes \,bi,b2, comme nous l'avons fait dans l'étude des intégrales hypergéométriques (Chapitre XII, Jj 6). Nous savons que l'on peut trouver deux intégrales, dont le rapport dans le voisinage de l'origine x = o peut se mettre sous la forme

P(œ) étant holomorphe et différent de zéro pour x=^o. Il suffît, pour s'en assurer, de prendre les deux intégrales correspondant aux deux racines de l'équation déterminante.

De même, pour ^= i, on aura deux intégrales, dont le quotient se mettra sous la forme

(:r — i)>-+^-iQ(:p),

Q(^) étant holomorphe et différent de zéro pour x =^i. Enfin,

dans le voisinage de ^ = 0:. nous avons un rapport susceptible de la forme

R(j;') étant holomorphe et différent de zéro pour j;'= o.

Pour que l'inversion se fasse d'une manière uniforme, il faudra que les trois nombres

)v 4- 61 — [, 1 -T- b-2 — 1, bi-^bo — F

soient les inverses de nombres entiers. Soient donc

bi— ùo— i — -y P

/n, n, p étant trois entiers que nous pouvons supposer positifs, car nous verrons dans un moment que

a, b, c ajant la signification que nous leur avons donnée au Chapitre précédent.

Nous aurons donc

Nous nous imposons de plus la condition que l'intégrale lijpergéométrique {loc, cit.) ait un sens quand g et Ji sont deux quelconques des quantités o, i, j; et oc, c'est-à-dire que

Les trois premières conditions sont remplies, quels que soient

les entiers positifs m, n^p\ et la dernière revient à l'inégalité

Nous la supposerons vérifiée.

2. Les quantités désignées par a, b^ c dans le Chapitre précédent (§ 13) sont ici, puisque

Le quotient de deux solutions nous donne donc la représentation conforme du demi-plan sur un triangle d'arcs de cercle [voir le Chapitre précédent). Les angles aux sommets de ce

riangle sont

7T Tl

On peut supposer que ces trois sommets sont à distance finie, et, puisque a, ^, c sont plus petits que deux, nous sommes dans le cas où il y a une correspondance uniforme entre le demi-plan et le triangle ABC.

Or, étant donnés trois cercles, il existe un cercle réel ou imaginaire les coupant orthogonalement. Soit F le cercle relatif aux trois cercles formant le triangle ABC, et soit AC'B l'image de ACB par rapport à AB; F coupera aussi orthogonalement AC et BC^ On le verra de suite en supposant que AB se réduit à une ligne droite (ce qui ne diminue pas la généralité, comme il résulte du § 16 du Chapitre précédent), car alors ACB est symétrique de ACB et le cercle a lui-même AB pour axe de symétrie.

Je dis maintenant cjue le cercle F est réel; c'est là un point très important qui résulte de ce que les angles de notre triangle d'arcs

de cercle sont égaux à —, - et - et à ce que, de plus.

l^our le voir, nous pouvons supposer que deux des côtés du

triangle sont rectilignes, car on peut transformer deux circonférences en droite par une substitution linéaire. Nous aurions donc la disposition suivante de lay?^-. i-.

L'angle rectiligne AGB est égal à -; quanta l'arc de cercle AB,

il doit tourner sa convexité vers le point C, car autrement la somme des angles du triangle formé par les deux droites GA, CB et l'arc de cercle AB dépasserait la somme des angles du triangle rectiligne ABC, c'est-à-dire t:. Du point G comme centre, on peut donc décrire un cercle réel T orthogonal au cercle AB, et l'on doit remarquer que le cercle F ne rencontrera pas le triangle GAB. Nous avons supposé implicitement, dans cette figure, qu'aucun des angles n'était nul, c'est-à-dire qu'aucun des entiers /??, /z, p n'était infini. Supposons, par exemple, 772 = oc; on aura alors la fig. i8. Ici le cercle F ne traverse pas le triangle AGB, mais passe par le sommet A où l'angle est nul. Geci est général; s'il v a,

dans le triangle, deux sommets, ou même les trois, pour lesquels l'angle soit nul, le cercle orthogonal passera par ces sommets.

3. Béduisons maintenant le cercle F à être l'axe des quantités réelles, le triangle ABG sera dans un des demi-plans, soit, par exemple, le demi-plan supérieur.

Nous avons donc, dans le demi-plan, un triangle d'arcs de cercle ACB, dont les côtés sont orthogonaux à l'axe réel, et il en

sera de même alors des côtés du triangle AG'B, image du triangle ACB par rapport à AB (Jig. 19).

Si les sommets A et B correspondent aux points o et i, la substitution linéaire transformant AG en AG' est la substitution S, relative à une rotation dans le sens négatif autour de o. (Voir la flg. i4du Ghapitre précédent.)

Le quadrilatère AGBG' correspond au plan de la variable ^, dans lequel on a tracé les coupures ( — 00, o) et (i, H- 00). Si œ, venant du demi-plan inférieur, traverse la coupure ( — co, o), nous aurons, comme correspondant au demi-plan supérieur, un triangle d'arcs de cercle, qui sera l'image du triangle AG'B par rapport à AG'; soit AB'G' ce triangle. Il est clair que le triangle AG'B' se déduira du triangle AGB au moyen de la substitution S,, et le triangle AG'^B', image de AG'B' par rapport à AB', se déduira du triangle AG'B par la même substitution. On peut donc dire que le quadrilatère AG'^B'G' est la transformée du quadrilatère AGBC' par la substitution S,. Gette substitution est évidemment à coefficients réels, puisqu'elle a le point A comme point double et qu'elle transforme le cercle AG dans le cercle AG', le cercle AB dans le cercle AB', ces divers cercles étant orthogonaux à l'axe réel ?i'.

La substitution 2.,, relative à une rotation dans le sens positif autour de 1 et qui transforme BG en BG', est pareillement à coef-

ficients réels ('), et l'on peut appliquer de la même manière cette substitution au quadrilatère AGBC. Nous sommes donc ainsi conduit à transformer le quadrilatère précédent au moyen des substitutions en nombre infini, résultant de la composition des deux substitutions Si et S2. Ceci revient, d'après les explications cidessus, à partir du triangle AGB et à former la suite indéfinie des triangles^ qui s' en déduisent par symétrie en prenant les images de ce triangle par rapport à ses cotés, et faisant de même pour les nouveaux triangles obtenus et ainsi de suite. Nous dirons que deux quadrilatères avant un côté commun AC, tels que ACBC et AG'B'C^ sont limitrophes.

Tous les triangles seront dans le même demi-plan, puisque les substitutions S, et S2 sont à coefficients réels. Il est, de plus, évident, d'après leur génération géométrique, qu'ils ne se recouvriront pas les uns les autres, puisque leurs angles sont respectivement égaux à

ce qui fait que les triangles ayant pour sommet le point A sont en nombres égaux à 2/?z, la rotation autour de A ramenant le triangle initial, et que, par suite, les quadrilatères sont en nombre /n autour de A. En prenant toujours de nouveaux triangles, on étend indéfiniment, sans sortir du demi-plan, le domaine occupé par les triangles, et il est bien vraisemblable que cet ensemble de triangles coui'rira le demi-plan tout entier (-); pour le démontrer en toute rigueur quelques explications préliminaires sont nécessaires.

A. Reprenons la substitution

az — b

CZ -r d

{ad— bc — i),

(') Le cercle que laissent invariables les substitutions X, et 'SL^, comme nous l'avons vu d'une manière générale (Chap. XII, § 10), est ici l'axe réel. On peut vérifler directement qu'avec les valeurs actuelles de X, b^ et b^ ce cercle doit bien être réel, en se servant de l'inégalité donnée {toc. cit.).

(») M. Schwarz, dans son Mémoire déjà cité {Journal de Crelle, t. 75, p. 3i8), admet ce point sans démonstration. Nous suivons, pour la démonstration rigoureuse, la méthode employée par M. Poincaré pour établir le théorème général d'existence des groupes fuchsiens {Acta mathematica, t. I).

328 CHAPITRE XIH.

(7, />, c Ql d étant réels. Soient ^ == ^ -H ?y et Z — X -^ /Y ; on

aura

dz = dx -T~ idy

et, en désignant par ^o 1^ quantité conjuguée de :;,

dzQ = dx — idy ^

dx"--^ dy'^— dzdz^.

dz^dz

d'où l'on conclut Or

dZdZ

^ " {cz -+- c/)2(c.-o+ dy-

{cz^

dX'-

et comme

on en déduit

Par suite, pour un élément de courbe ds et pour Tare transformé 6/S, on a

dS ds

ds ■ '

et l'on peut dire que l'élément — est un invariant pour la substitution linéaire.

5. Revenons au quadrilatère ACBC et à tous ceux qui s'en déduisent par les substitutions du groupe dont S, et IS2 sont les deux substitutions fondamentales. Joignons un point quelconque M à l'intérieur du quadrilatère AGBC par un arc de courbe situé dans le demi-plan, à un point quelconque P de ce demi-plan, non situé sur l'axe réel. Sui\ons l'arc MP en considérant les différents quadrilatères correspondant au quadrilatère initial par une substitution du groupe^ et clierchons à montrer qu'on arrivera au point P après avoir traversé un nombre Jini de quadrilatères.

L'arc de courbe MP sort du premier quadrilatère (que nous désignerons par Rq) par un certain côté. Il entre alors dans un second quadrilatère R,, qui est le quadrilatère limitroplie de R,,, le long de ce coté. Si l'arc MP sort de ce quadrilatère, il entrera dans un troisième quadrilatère Ro, limitrophe de R, , le long du côté par lequel est sorti MP, et ainsi de suite. On aura, de cette

manière, une suite de quadrilatères

Ro, Ri, .... Rrt. . . .

Il faut démontrer que ces quadrilatères sont en nombre fini. Or, quand un arc de courbe traverse un polygone R, deux circonstances peuvent se présenter : ou bien cet arc va d'un côté à un côté opposé, ou bien il entre par un côté et sort par un côté adjacent.

Prenons d'abord la première circonstance et considérons la substitution linéaire transformant R/^ en Rq. Elle transformera aussi l'arc /•// de ^JP, qui traversait R„, en un arc traversant Rq- Or pour un arc de courbe, compris entre deux côtés opposés de Rq, l'intégrale

est une quantité positive ne descendant pas au-dessous d'une certaine limite, que nous désignerons par K. Or, L étant un in\ariant au sens du paragraphe précédent, nous concluons de là que l'intégrale L étendue à y,; sera supérieure à K. Comme l'intégrale L, étendue à l'arc MF tout entier, est nécessairement finie, il en résulte que le nombre des poljgones R, pour lesquels se présente la première circonstance, est nécessairement fini.

Si donc les R sont supposés en nombre infini, il arrivera un moment où la seconde circonstance se présentera toujours. Celle-ci se partage elle-même en deux cas différents. Considérons un polygone R/ et le polygone suivant R/|.| ; par hypothèse, l'arc traverse les deux polygones en entrant et sortant par des côtés adjacents; mais il peut arriver que les côtés adjacentscorrespondent au même sommet ou à deux sommets différents dans les deux quadrilatères. Dans le second cas, en effectuant la transformation qui ramènera respectivement les deux quadrilatères à Rq et àR,, il est clair que l'intégrale L, étendue à l'arc compris dans R/ et R/.,.) , sera supérieure à K, et nous sommes dans le même cas que ci-dessus. Le second cas de la seconde circonstance ne peut donc se présenter qu'un nombre fini de fois. Il ne nous reste plus que le premier cas de la seconde circonstance, qui se présenterait constamment à partir d'un certain moment; mais ici il n'y a plus aucune difficulté, puisque autour d'un sommet il y a seulement

33o CHAPITRE XIII.

soit m, soit n^ soit/? quadrilatères. Nous trouvons donc toujours un nombre fini dans tous les cas possibles, et nous arrivons à la conclusion que le réseau de quadrilatères couvre le demi-plan tout entier, puisqu'un point quelconque du demi-plan se trouve dans lin certain quadrilatère.