Je reprends maintenant le rapport
qui nous a d'abord donné la représentation conforme du demi-plan supérieur sur le triangle AGB. A chaque valeur de x correspondent une infinité de valeurs de^, qui se déduisent de l'une d'entre elles z, et sont de la forme
az -{- b
cz -\- d
a, b^ c ei d étant réels {ad — bc =^ i). Cherchons inversement combien de valeurs de x correspondent à une valeur de z. Le point z se trouve dans un certain quadrilatère R du réseau que nous venons d'étudier. Or, à chaque quadrilatère correspond uniformément le plan de la variable x où Ton a tracé les deux coupures ( — oo,o)et(i + Go);à chaque valeur de z ne correspondra donc qu'une valeur de x.
L'inversion de l'éauation
donne donc pour x une fonction uniforme de z. Cette fonction f{z) n'est définie que dans le demi-plan supérieur de la variable z^ et Von ne peut la prolonger analytiquement au-dessous de Vaxe réel. En désignant par
/ az-\-h\
une substitution quelconque du groupe dont S, et ^2 sont les deux substitutions fondamentales, on a
égalité qui exprime simplement qu'aux points correspondants de deux polygones R la fonction a la même valeur. Nous avons donc là une transcendante extrêmement intéressante, qui généralise d'une manière bien remarquable les fonctions doublement périodiques, en ce sens que le parallélogramme des périodes s'y trouve remplacé par un quadrilatère d'arcs de cercle, et que le réseau des parallélogrammes de périodes est remplacé par le réseau des quadrilatères curvilignes couvrant le demi-plan (*).
7. Nous avons supposé dans les dessins faits plus haut que les
angles
a-, b-, CT.
du triangle curviligne étaient différents de zéro.
Les raisonnements faits ne supposent en rien que parmi ces angles il ne s'en trouve pas d'égal à zéro. Si l'on a a = o, le sommet a sera sur l'axe réel, car on a alors un logarithme dans l'expression d'un système fondamental d'intégrales et la substitution fondamentale correspondante sera alors parabolique. Il peut même arriver que les trois angles du triangle d'arcs de cercle
Fis. 20.
soient nulles, ce qui correspond àl=m = n=:oc. et ce cas particulier présente un grand intérêt. On aura alors un triangle comme celui de la /Ig. 20, où les trois angles A, G, B sont nuls.
(') Les fonctions de M. Schwarz ont donné, après la fonction modulaire qui s'était présentée dans la théorie des fonctions elliptiques et qu'elles comprennent comme cas particulier, des exemples de fonctions uniformes n'étant pas susceptibles d'être prolongées analytiquement au delà d'une droite ou d'un cercle, et se reproduisant quand on effectue sur la variable un groupe de substitutions linéaires. Ce sont les types les plus simples de ces fonctions que M. Poincaré appelle fonctions fuchsiennes, et qui sont désignées par M. Klein et ses élèves sous le nom de fonctions automorphes. Un point capital dans cette théorie est la loi générale de formation des groupes fuchsiens, c'est-à-dire des réseaux de polygones limités par des arcs de cercle normaux à l'axe réel, se déduisant les uns des autres par une substitution linéaire et couvrant une seule fois le demi-plan. {Voir sur ce sujet : Poincaré, Théorie des groupes fuchsiens {Acta matheniatica, 1. 1)]. L'étude du cas particulier très simple, correspondant aux fonctions de Schwarz que nous venons de traiter, facilitera l'étude du cas général.
332 CFIAPITRE XIII.
8. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que l'on avait entre les entiers positifs /??, n, p l'inégalité
ni n p Arrêtons-nous un moment sur le cas de l'égalité
m II p
D'après les valeurs de X, 6, et 62 (§ 1 de ce Chapitre), nous trouvons alors
et par suite, en revenant aux constantes a, [5, v de Gaiiss, on aura L'équation hjpergéométrique se réduit à
Une des solutions est donc y = const., et une autre intégrale est fournie par la quadrature
La question se réduit donc à l'inversion d'une intégrale. Mais ici, d'après ce que nous avons déjà dit au Chapitre précédent, le triangle curviligne se réduit à un triangle rectiligne; ses angles sont égaux à
