TT

m n ' p et leur somme est bien égale à 71, d'après la relation

I II m n p '

Les cas où un des angles serait nul, c'est-à-dire où une des quantités m, /i,/? serait infinie, ne présentent aucun intérêt, et l'on ne trouve que des transcendantes élémentaires. La seule circonstance à examiner est celle où nous avons un véritable triangle rectiligne. Ce que nous avons dit plus haut du triangle curviligne

peut nécessairement se répéter pour le triangle rectiligne. On déduira du triangle rectiligne par symétrie une infinité de triangles qui recouvriront le plan. Mais le triangle initial n'est pas quelconque. La relation

soit

nous donne,

Ti'^p

soit

ou enfin

On a dans le premier cas un triangle équilatéral, dans le second un triangle rectangle isosoèle et dans le troisième un triangle rectangle dont les angles aigus sont égaux respectivement à 3o" et 6o°. Dans les trois cas, on obtient par V inversion de V intégrale (i) une fonction doublement périodique. On le vérifierait par l'étude de l'intégrale elle-même en donnant à a et y les valeurs particulières correspondant à chacun de ces cas, et il n'v aurait qu'à vérifier que rintégraleabélienne dont on veut faire l'inversion est une intégrale de première espèce correspondant à une courbe de genre un. On peut aussi le voir par une voie qui se rapproche plus des considérations développées dans les paragraphes précédents, car la double périodicité doit apparaître sur le réseau des triangles. Prenons, par exemple, le triangle équilatéral.

Soient le triangle équilatéral ACB et son symétrique AC'B

{fig.ii). Les substitutions fondamentales du groupe sont la substitution linéaire (ici de la forme P; -^ Q) transformant AC en AC,

et la substitution linéaire transformant BG en BC^ Figurons maintenant le quadrilatère limitrophe AG'B'A', et considérons la substitution linéaire transformant C'A en C'A'. En faisant à la suite les deux substitutions correspondant respectivement au changement de AC en AC et de C'A en C'A', on transforme GA en G' A' ; cette substitution sera nécessairement de la forme

Cl) représentant la grandeur géométrique GG'. Voici donc une première période; une seconde période correspondra à la grandeur géométrique BB'; une troisième période correspondrait à la troisième hauteur, mais il est clair qu'elle est la somme géométrique des deux premières. Un parallélogramme de périodes comprend l'équivalent de trois parallélogrammes fondamentaux tels que AGBG'; je veux dire par là que sa surface peut se partager en plusieurs aires dont chacune est congruente à un parallélogramme fondamental, ou à une partie d'un tel parallélogramme, de manière à correspondre dans son ensemble à trois de ces parallélogrammes.

Je laisse au lecteur le soin d'examiner de la même manière les deux autres réseaux de triangles dont les angles sont indiqués cidessus (*).