II. — Problème inverse

9. Nous sommes parti, dans la Section précédente, de l'équation différentielle hypergéométrique, et, en donnant aux constantes certaines valeurs particulières, nous avons été conduit à diviser le demi-plan de la variable z en un réseau de quadrilatères formés

(') Je n'examine pas ici les cas, en nombre limité, où l'on a

T7l II p

et je renvoie pour ces cas au Mémoire de M. Schwarz et au beau Livre de M. Klein ( Vorlesungen ûber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungeii vom fûnften Grade; Leipzig, 1884 ). L'inversion du quotient donne encore des fonctions uniformes, mais ce sont des fonctions rationnelles. Elles sont très intéressantes, car elles se rattachent intimement aux divers polyèdres réguliers.

par des ares de cercle. On peut se poser la question d'une manière inverse, en considérant a priori dans le demi-plan de la variable z un triangle formé par trois arcs de cercles normaux à l'axe réel, et ayant pour angles ( ' )

On prend l'image de ce triangle ABC par rapport à x\B, el, en désignant ce triangle par ABC, on a le quadrilatère ACBC. Il existe une substitution elliptique à coefficients réels ayant pour points doubles A et son symétrique, par rapport à Taxe réel. transformant le cercle AC en le cercle AC, ces deux cercles étant pris dans leur entier; ce sera la substitution

ao z — ao

(') On aura certainement

m II p

comme le montre le théorème célèbre de Gauss sur la courbure totale d'une portion de surface, limitée par des lignes géodésiques. On sait en effet que l'on peut mettre le carré de l'élément de l'arc sur une surface S, dont la courbure totale est constante et égale à — i sous la forme

dx"" — dy'

et, si l'on établit alors une correspondance entre les points de S et le demi-plan {x,y), les lignes géodésiques de la surface correspondront dans le demi-plan aux cercles orthogonaux à l'axe des x. Cette représentation donnant une carte géographique de S sur le demi-plan, il y a conservation des angles; or, d'après le théorème de Gauss, si l'on prend sur une surface un triangle formé par trois lignes géodésiques, et, en désignant par A, B, C les angles de ce triangle, on a

A -FB-+-C

dz étant l'élément de surface, et RR' la courbure totale de la surface en chaque point. Or ici RR'= — i; il en résulte que

et il en est, par suite, de même du triangle formé dans le demi-plan par trois cercles orthogonaux à l'axe des x. On pourra consulter sur ce sujet le Chapitre XI du Tome III des Leçons de M. Darboux (p. 394).

a étant Taffîxe de A et ao la conjuguée de a; l'angle — est l'angle des deux cercles, et nous mettons le signe moins dans l'exponentielle (si le cas de figure est celui de la page 326). Il faut montrer que cette substitution transforme le point C en le point G'. 11 suffit pour cela de faire voir que l'intégrale