OM
ds
ds'
que nous savons être un invariant pour une substitution linéaire, est la même pour l'arc AG et pour l'arc AG'. Or il en est bien ainsi, car deux arcs sont transformés l'un de l'autre par ravons vecteurs réciproques et l'on aura alors, en désignant par O le point où GG' rencontre l'axe réel et en appelant MP et M'P' deux arcs élémentaires correspondants,
ce qui revient à
les deux intégrales sont donc égales.
Ainsi nous avons une substitution Si transformant AG en AG', et pareillement une substitution S2 transformant BG en BG'. Ges deux substitutions sont les substitutions fondamentales d'un groupe, et nous obtenons ainsi, en transformant le quadrilatère primitif par toutes les substitutions de ce groupe, un nombre infini de quadrilatères couvrant une fois le demi-plan. (On répéterait ici les raisonnements de la Section précédente.)
Passons maintenant à la démonstration a priori de V existence d'une fonction que laissent invariable les substitutions de ce groupe. On j parviendra en s'appuyant sur le théorème général de Riemann, relatif à la représentation d'une aire simplement connexe sur un demi-plan, théorème sur lequel nous nous sommes longuement arrêté dans le Tome 11 de cet Ouvrage. Prenons le triangle ABG ; nous pouvons le représenter d'une manière conforme sur le demi-plan supérieur du plan des x^ et cette représentation est entièrement déterminée si nous faisons correspondre le point A au point ^ == o, le point B au point ^ = i et le
SLR UNE CLASSE DE TRANSCKNDANTES UNIFORMES. 337
point C à ;r = X. Soit
la fonction /(;:) pour le moment définie seulement dans le triangle ABC, qui permet de faire cette représentation conforme. L'arc Al^ étant analytique, on peut, d'après la théorie de la représentation conforme (t. Il, p. 2-6), prolonger analjtiquement la fonction f(z) au delà de l'arc AB. A deux valeurs de ^, ajant pour affixes deux points conjugués par rapport au cercle AB, correspondent alors deux valeurs de jc imaginaires conjuguées. On l'établit de suite en supposant pour un moment, comme il est permis, qu'une transformation linéaire ait transformé l'arc AB en un segment de Taxe réel dans son plan, et alors la remarque devient évidente. Par suite, la fonction f{z) sera certainement définie d'une manière uniforme dans le triangle AG'B image de AGB, et les valeurs de la fonction correspondront, dans ce triangle, au demi-plan inférieur. On passera de même du triangle AC'B à un triangle limitrophe, et l'on étendra ainsi, de proche en proche, la fonction d'une manière uniforme dans tout le demi-plan. En deux points homologues de deux quadrilatères, la valeur de x sera évidemment la même, et, par suite, on a bien une fonction uniforme f{Z') invariable par les substitutions du groupe correspondant au réseau de quadrilatères.
JO. Considérons la fonction inverse z àe x définie par l'équation
D'après la définition àe f{z), la fonction inverse z àe x sera une fonction de x définie dans tout le plan de la variable x et holomorphe dans le voisinage de tout point de ce plan, sauf les points o, I et oo. Quand x tourne autour d'un de ces points singuliers, z se change en
az ^- b
cette substitution appartenant au groupe dont S, et I2 sont les deux substitutions fondamentales.
11 nous faut chercher la forme analytique d'une des déterminations de la fonction dans le voisinage d'un point singulier. Suppo-
sons d'abord que le sommet A ne soit pas sur l'axe réel, c'est-à-dire que l'entier m, correspondant à ^ = o, ne soit pas infini.
Pour une détermination convenable de la fonction 5, l'expression
z — a z — ao
Slti
se reproduit, multiplié par e '" , quand x tourne autour de l'ori gine dans le sens négatif, et l'on a par suite
a7'« Cp(^),
cp(^) étant uniforme dans le voisinage de x^=o. Comme pour X = o on a ^ = a, la fonction ^{x) est holomorphe dans le voisinage de X =: o, et enfin cp(o) ^ o, puisque x est fonction uniforme de z.
Si le sommet A est sur l'axe réel, la substitution Si est parabolique, et nous savons (Chapitre XII, §20) qu'on peut l'écrire
h étant une constante réelle.
Donc la fonction de x
a l'Ki
— ;log;r
est uniforme dans le voisinage de x = o. Désignons cette expression par cp {x)\ je dis que '-^{x) est holomorphe dans le voisinage de ^ :== o. On a en efi*et
Si ^ {x) admet x =^ o comme pôle ou comme point singulier essentiel, le second membre, d'après une proposition élémentaire de la Théorie des fonctions ('), s'approche autant qu'on veut dans le voisinage de l'origine de toute grandeur donnée ; mais le
(') Tome II, page 120.
SLR UNE CLASSE DE TRANSCENDANTES UNIFORMES. SSq
premier membre, en posant
a pour module
et comme r^ > o, ce module sera supérieur ou inférieur à iin^ suivant le signe de h, et, par conséquent, le premier membre ne peut s'approcher autant qu'on veut de toute grandeur donnée. Nous aurons donc pour une des déterminations z de la fonction r
y-^-.log^r -^ o {cc)f
o{x) étant holomorphe dans le voisinage de j?= o.
11. Nous pouvons maintenant former une équation du troisième ordre, à laquelle satisfait la fonction :; de x. Prenons, à cet efifet, le quotient
dzy dxj
déjà rencontré (Chapitre XII, § 15); il reste invariable, comme
nous Pavons dit, quand on remplace z par — -j- Il sera donc
une fonction uniforme dans tout le plan, et les seuls points singuliers seront les points o, i et ce. Pour toute autre valeur de x, ce quotient est holomorphe, puisque — est différent de zéro pour j:distinct des trois valeurs singulières. Nous n'avons plus qu'à déterminer la nature de ces singularités. Cette détermination sera facile, puisque nous connaissons la forme analytique de z dans le voisinage de ^ = o, jc = I et ^ = oc. On reconnaît ainsi que le quotient ci-dessus est complètement déterminé, en posant, comme
précédemment,
des calculs faciles, mais un peu longs, que j'omets ici, font retomber sur l'expression déjà obtenue
ix'^ i{i — x)- -ixi^i — x)
34o CHAPITRE XIII.
et ce résultat s'applique encore au cas où a, b^ c ne seraient pas différents de zéro.
Il résulte de là que la fonction /(^), qui nous occupe, peut être obtenue par l'inversion du quotient de deu\ intégrales d'une équation hypergéométrique, puisque l'expression précédente est celle qui se présente dans l'équation différentielle du troisième ordre relative à une telle équation.
III. — Quelques cas particuliers remarquables : fonctions modulaires.
12. Nous allons étudier quelques cas particuliers. Un cas intéressant est celui où
ou, ce qui revient au même,
On a alors X = />, — ^^=^5 ^^ ^'^^ 3, par suite, l'intégrale hjpergéo métrique
/''' . du s/ Lt{u l) (W — X)
g et h désignant deux quelconques des quantités o, i, ^etcc. On peut, moyennant une substitution linéaire convenable, choisir pour triangle fondamental un triangle quelconque d'arcs de cercles normaux à l'axe réel, comme celui que nous avons représenté page 33 1 .
Le cas, où l'on prend, comme intégrales de l'équation linéaire, deux demi-périodes distinctes de l'intégrale elliptique
du
conduit à la fonction modulaire, c'est-à-dire au module considéré comme fonction du rapport des périodes, qui a fait, à un autre point de vue, l'objet des travaux de M. Hermite ('). Nous
C) Voir Hermite, Comptes rendus, i858.
avons donné (t. II, p. 280) les substitutions fondamentales du groupe correspondant. Au lieu de prendre les substitutions fondamentales (S«) et (So) données {loc. cit.), prenons les deux substitutions inverses, c'est-à-dire les substitutions donnant les w en fonction des to'; on aura ainsi, pour le rapport 3, les deux substitutions
(Si)
Dessinons le quadrilatère fondamental correspondant rapporté aux deux axes (O;, Or.) (Jig; 22) en posant
- = : -t- in.
Le quadrilatère est symélrique par rapport à Or,. Les deux demi-
à l'unité, se correspondent
cercles OA et OB, de diamètre éga
Fig.
par la substitution ï, et les deux côtés BB' et AA parallèles à Or. se correspondent par la substitution I.. Le quatrième sommet du quadrilatère est à l'infini dans la direction de l'axe Or..
13. Prenons un autre cas non moins remarquable et se rapportant également à la théorie des fonctions elliptiques. Nous donnerons à m, n, p les valeurs
On peut prendre, pour triangle fondamental correspondant à ces angles, le triangle suivant : Décrivons de l'origine, comme centre, un cercle de rajon un et traçons la droite ç = — 1 repré- P. — m. '.3
sentée sur \difig. aS par AC. Le triangle fondamental est le triangle formé par l'arc AB et les deux droites AC, B/j ; le troisième som-
Fig
met est à l'infini. On vérifie de suite que, dans ce triangle, l'angle A
est égal à '-^
l'anffle B à - et l'ançle G est nul.
Le triangle B A'C, symétrique de BAC par rapport à l'axe Or,, donnera avec BAC le quadrilatère fondamental.
On a immédiatement les substitutions fondamentales du groupe correspondant; ce sont
la première transforme AG en A' G' et la seconde l'arc BA en l'arc BA^
Nous avons déjà étudié ce groupe (t. T, p. 446), et nous avons vu que toutes les substitutions de la forme
cz -\- d
rt, h, c, cl étant des entiers réels {ad— bc = i) , résultent de la composition des deux substitutions précédentes (M- Reprenons ce théorème en ne nous appuyant que sur les considérations relatives aux polygones limités par des arcs de cercle. Prenons un point z, que je suppose à rintérieiir du quadrilatère GABA'G', et
(*) Outre le Mémoire déjà cité de M. Dedekind {BorchardV s Journal, Bd. 83), je mentionnerai encore sur le groupe précédent et les fonctions qui s'y rapportent un travail de M. Ilurwilz [Grimdlagen einer Independenten Théorie der elliptischen Modidfunctionen {Mathematische Aiinalen, Bd. 14, 1878)].
soil le point
az — h cz ^ d
Le point Z est à l'intérieur d'un certain quadrilatère déduit du quadrilatère fondamental par une substitution S du groupe (i) ou sur son périmètre. En effectuant sur Z la substitution S~', on obtient ainsi un point z dans le quadrilatère fondamental ou sur son périmètre. Si :? = -s', le théorème est établi. Puisqu'on peut passer de -g et de ^' à Z par une substitution à coefficients entiers, on pourra certainement passer de ^ à ^' par la substitution
a, p, V, 0 étant des entiers. Nous allons montrer que deux points z et z\ à l'intérieur du quadrilatère fondamental, ne peuvent se correspondre par une substitution de cette forme, autre que la substitution identique ^'= z. Il est clair d'abord que y n'est pas nul, car alors ;: et z^ ne pourraient être dans le quadrilatère, à moins que |^ ne soit nul. Excluons le cas de v =: o, [^ = 0, qui donnerait z' = z.
Soit z=^\-r i'f,. nous avons par hypothèse
en excluant les égalités; de même ^'^ ;'-+- itl^ avec les inégalités analogues, mais les égalités n'étant pas exclues. On a
or
en prenant le signe + si vo est négatif, et le signe — si vo est positif.
Il s'ensuit que
l'égalité étant exclue; en prenant :: en fonction de z\ on arrive de même à l'inégalité analogue
Ces deux inégalités sont contradictoires; nous sommes donc nécessairement dans le cas exclu, c'est-à-dire que
et, par suite,
a = 0 = dz i;
ce qui donne la substitution identique. Par suite, on obtient toutes les siibslitutions à coefficients entiers au moyen des deux substitutions (i) combinées de toutes les manières possibles. Le groupe précédent est souvent désigné sous le nom de groupe arithméticiue .
14. La fonction /( 3), correspondant au groupe précédent, joue un rôle très important dans la théorie des fonctions elliptiques. C'est un sujet qui nous entraînerait trop loin; je veux cependant montrer comment la considération de cettç fonction conduit à une classe intéressante d'équations algébriques. Envisageant les deux
fonctions
x^fiz),
y=f{mz),
OÙ m désigne un entier, nous allons établir quHl existe entre x et y une relation algébricjue.
On voit immédiatement que jk, considérée comme fonction de X, ne pourra avoir comme points singuliers que les points o, 1 et o), et ces points sont des points critiques algébriques. Ainsi,
pour X =^ o, l'équation
a une infinité de racines en ^, quisont des racines triples, puisque, autour de chaque sommet correspondant à x = o, il y a trois quadrilatères. Soit :; = a l'une d'elles, qui n'est pas située sur Ox. Nous pouvons écrire (§ 10)
f[mz) se développe donc en série suivant les puissances de x'\
Pour X = ce, considérons la racine ^ = go correspondant au sommet à l'infini du quadrilatère fondamental.
SLR UNE CLASSE DE TRANSCENDAMES LMFORMES. 345
On a, dans le voisinage de ^ = ce, pour la racine g devenant
infinie,
loger , .
ITZl
cp(x) étant holomorphe dans le voisinage de x=:cc, c'est-à-dire que - peut se mettre sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de e+--^'. Il est évident alors que- se mettra, pour x très grand, sous la forme d'une
série entière en — •
Il faut montrer maintenant que y^ pour une valeur de ^, n a qu'un nombre limité de valeurs. Or, pour une valeur de ^, les valeurs correspondantes de z s'expriment à l'aide de Tune d'elles par la formule
Nous avons donc à chercher si les valeurs de la fonction
sont en nombre fini ; a, [ii, y, o désignant quatre entiers quelconques avec oLù — I^Y = i .
Prenons à cet effet les deux valeurs
(2) m ^ et 771— K7 (ao'— ^Y=0
et cherchons à quelle condition elles sont éqLiivalentes au moyen d'une substitution
On devra avoir
Y^H-ô cm {y.' z -+- '^') -T- d{Y ^ ^ ^')' il en sera ainsi, si l on a
ma = a 771 a' -h bY,
Y = cma' -- clY,
0 — cm'^' -^ do'.
De ces équations, on déduit
d = ol' 0 — YJj'.
On a bien ad — bc = i , et la seule condition est que c soit entier. La condition est donc
yo'— Ôy'=o (mod.m).
En particulier, désignons par o' et r' les restes compris entre o et m des divisions de o et y par m, ou ces restes divisés par leur plus grand commun diviseur s'ils ne sont pas premiers entre eux; les deux expressions (2) seront équivalentes, pourvu seulement qu'on prenne a' et ^' tels que
On en conclut immédiatement que la fonction
az-h [3
quand on donne à a, [^, y, ô toutes les valeurs entières possibles (aS — j3y == i), n'a qu'un nombre limité de valeurs distinctes; ce qui démontre le résultat énoncé plus haut (').
IV. — Théorème général sur les valeurs d'une fonction uniforme dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé.
15, Nous nous sommes déjà servi (t. II, p. 281) de la fonction modulaire, correspondant au cas du § 12, pour démontrer un théorème sur les fonctions entières et sur les fonctions ayant un seul point singulier essentiel à l'infini (-). La fonction modulaire
C) On trouvera une étude approfondie des fonctions modulaires dans les deux Volumes de M. Klein : Sur les fonctions elliptiques modulaires.
C) Faisons seulement remarquer à ce propos que l'analyse de la page ^33 (tome II) est inutile; le théorème qui y est démontré se déduit immédiatement
du § 13 va nous servir à démontrer un théorème déjà énoncé (t. II, p. i2i), mais que nous n'avions pu alors établir.
Désignons par F(:;) une fonction uniforme dans le voisinage d'un point «, qui est pour elle un point singulier essentiel isolé. La fonction F(^) pourra d'ailleurs avoir ou non une infinité de pôles dans le voisinage de ce point essentiel. Nous considérons
l'équation
A étant une constante. Nous voulons démontrer le théorème suivant :
U équation précédente a, en général, une infinité de racines dans le voisinage de a. Il peut arriver cependant qu'il n'en soit pas ainsi pour certaines valeurs exceptionnelles de la constante A, mais il ne peut exister plus de deux valeurs exceptionnelles {^).
Nous allons procéder en montrant qu'il est impossible que l'équation précédente n'ait pas de racine dans un certain domaine autour de «, pour trois valeurs de A. On peut évidemment supposer, en effectuant sur F(^) une substitution linéaire, que ces trois valeurs sont telles valeurs que l'on voudra. Nous prendrons
Nous avons donc par hypothèse une fonction F(^) uniforme
du théorème de la page 281 (même Tome). On peut dire d'une manière générale qu'une fonction f{z), uniforme dans tout le plan et avec un seul point singulier essentiel à l'infini, et qui ne pourrait prendre les valeurs
ces trois constantes étant distinctes (une constante infinie n'étant pas exclue), se réduirait nécessairement à une constante. On peut en effet substituer à/(^) la fonction
en choisissant a, ^, y, 0, de manière que A, B, C deviennent o, i, x , et nous sommes alors dans le cas d'une fonction entière.
(•) E. Picard, Sur les /onctions analytiques uniformes clans le voisinage d'un point singulier essentiel ( Comptes rendus, t. LXXXIX, 1879), et Mémoire sur les fonctions entières {Annales de V École Normale, 1880).
dans le voisinage de a^ qui est pour elle un point singulier essentiel. La fonction n'a pas de pôle dans le voisinage de ce point et, de plus, les équations
n'ont pas de racine autour de a.
