Désignons par

la fonction uniforme correspondant au cas du § 13 et définie dans le demi-plan de la variable u (cette variable a été jusqu'ici désignée par ^), et soit

la fonction inverse ayant dans le plan x les trois points singuliers o, I etco. Dans cette fonction, je remplace ^ par F(^), et je vais étudier la fonction de z

dans le voisinage de a^ c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle F de centre a et assez petit pour qu'à l'intérieur de ce cercle la fonction F(5) ne soit (en dehors de a pour lequel elle est indéterminée) jamais égale à o, i et ce.

A l'intérieur de F, la fonction u{^z) a, comme seul point singulier, le point a. Lorsque z tourne une fois autour de a dans le sens positif, le point x décrit dans son plan un contour fermé, et par suite u se change en

a, p, y, S étant quatre entiers (a8 — i^y =^ i)-

Plusieurs cas peuvent se présenter relativement à la substitution

Elle peut être hyperbolique, elliptique, parabolique ou se réduire à la substitution unité. Nous allons examiner successivement ces différents cas.

SLR LXE CLASSE DE TRANSCEKDAKTES UNIFORMES. -^ ^49

17. Supposons cVabord la substitution hyperbolique, c'està-dire que

En désignant par/? et q les points doubles (cjui sont réels et distincts) de la substitution, nous avons vu à la fin du Chapitre précédent que l'expression

se reproduit à un facteur />05iV(/* près ijl, différent de un. quand on effectue sur elle la substitution (3).

Il en résulte que l'on peut mettre ce quotient sous la forme

k désignant le logarithme arithmétique de tji, et la fonction 'o[z) étant uniforme dans le cercle F. Cette fonction n'aura dans ce cercle d'autre point singulier que <7, car, pour qu'elle ait un pôle, il faudrait que u devînt égal à la quantité réelle ^, ce qui est impossible, car, dans u{x)^ le coefficient de i est positif et différent de zéro pour x distinct de o, i et ce. De plus 'f (^), pour la même

raison, ne s'annulera pas. Par suite, le quotient \ peut se développer par la formule de Laurent, et nous avons

o'{z) A, Al

<?(^) {z — ay z — a ^ '

Puisque ^{z) est uniforme autour de A, il faut que le coefficient A, soit un entier m positif ou négatif, et nous aurons alors

o(^) = {z — ayne^^-),

P(^) étant uniforme dans T, et continu sauf en a. Finalement nous obtenons

Or, dans le premier membre, le coefficient de i a un signe invariable. Nous allons voir qu'il ne peut en être de même dans le

. OFTHE ^*^

TT TsT T T7 r' -D

OFTHE '"^^ "\

35o CHAPITRE xiir.

second cas. On peut, en effet, écrire ce second membre

/ ___ + „l j lOg (3 — fl) -t- P (3)

Si, dans le premier membre, le coefficient de / a un signe invariable, le coefficient de i dans

devra rester compris entre deux multiples consécutifs de t:, c'està-dire entre deux limites fixes. Posons

— . -H n^ log(^ - a) + P(x;) = U + iV .

ITZl /

Il est tout d'abord évident que, si m n'est pas nul, V ne peut rester compris entre deux limites fixes, car une rotation de z autour de a augmente V de imiz. Supposons donc m-— o; la relation précédente pourra s'écrire

log(^-a)-H -^P(^) = T^~]r'

ou encore

27r/ 27rV 27l£U

Mais le second membre a un module restant compris entre deux limites déterminées différentes de zéro, et il n'en est pas de même du premier qui s'approche autant que l'on veut de zéro, que P(^) soit régulier en a ou qu'il ait en ce point un pôle ou un point singulier essentiel.

Nous arrivons donc à la conclusion que la substitution (3) ne peut être hyperbolique.