Supposons maintenant cette substitution elliptique. On
a alors
Deux cas peuvent se présenter; le point double de la substitution (3) situé dans le demi-plan supérieur peut, au moyen d'une substitution du groupe arithmétique, être ramené à coïncider avec le point B ou le point A {fig. 23 du § 13).
1° Plaçons-nous d'abord dans le premier cas. En ayant donc effectué sur a une substitution convenable du groupe arithmétique, la substitution correspondant à (3) devient la substitution laissant B invariable, et par suite, en désignant encore par la même lettre u la valeur primitive transformée, l'expression
Il — i
Il -~ i
se reproduit (§9) multipliée pare - , c'est-à-dire — i, quand on effectue sur elle cette substitution.
On aura donc
'^{z) étant uniforme dans le voisinage de a. D'ailleurs, cp(^) n'aura pas de pôle autour de a, car le coefficient de i dans u étant positif, on ne peut avoir ?^ -^ ; = o. Pour la même raison cp(c) ne peut avoir le point a lui-même comme pôle ou point singulier essentiel,
car alors la fonction
pourrait devenir aussi grande qu'on voudra dans le voisinage de rt, et alors u s'approcherait autant qu'on voudrait de — i.
Il en résulte que ^(^) est holomorphe dans le voisinage de a. Par suite, quand z tend vers a d'une manière quelconque, la fonction u{z) tend vers i\ mais on a
d'où se déduit
quand u tend vers /, la fonction /(w) tend vers un. On en conclurait que F(:;) tend vers un quand z se rapproche de a d'une manière quelconque ; le point a ne serait pas alors un point singulier essentiel.
2° Le même raisonnement s'applique au second cas. Nous avons
seulement alors
(en désignant par p la quantité complexe représentant A et Zq sa
conjuguée), qui se reproduira multiplié par e ^ . Nous aurons donc
u — po ' '^ ^'
et les mêmes raisonnements montrent que cp(^) doit être holomorphe dans le voisinage de a et s'annuler pour z^ a. Mais alors, quand z tend vers a d'une manière quelconque, u tend vers p, et Ton en conclut que la fonction
tend vers zéro, de quelque manière que z se rapproche de «, ce qui est contradictoire avec le fait que a est un point essentiel.
19. Il ne nous reste plus à examiner que le cas où la substitution (3) serait la substitution unité et celui où elle serait parabolique.
Examinons d'abord le cas de la substitution unité. La fonction u{z) serait uniforme dans le voisinage de a. Le point a ne pourrait être pour elle un point singulier essentiel, car la fonction u{z) s'approcherait alors autant qu'on veut de toute grandeur donnée, ce qui est impossible, puisque le coefficient de i dans u est positif.
Le point a ne peut non plus être un pôle, car le signe du coefficient de i, dans une fonction ayant un pôle en a, ne peut être invariable pour toute position de z autour de ce point. Il faut donc que u{z) soit holomorphe dans le voisinage de a; or u{a) ne peut être réelle, car alors u{z) aurait dans le voisinage de a, pour certaines valeurs de z, sa partie réelle négative. La valeur de u{a) est donc une valeur complexe dans laquelle le coefficient de i est positif et différent de zéro. La relation
montre que F(^) tend vers une valeur déterminée, à savoir /[w(a)], quand z tend vers a d'une manière quelconque. Nous arrivons toujours à la même contradiction.
20. Considérons enfin le cas de la substitution parabolique . Les points doubles des substitutions paraboliques du groupe arith-
métique se déduisent tous, par une substitution de ce groupe, du point à l'infini dans la direction de Taxe imaginaire. En effectuant donc préalablement sur u une substitution convenable, on peut supposer que la substitution (3) est de la forme
Donc nous avons la fonction u{i) se transformant en ii{z) -1- i , quand :; tourne une fois autour de a dans le sens positif, et, par suite,
u{z) = ^^log(^ — a) + cp(^),
'^(3) étant uniforme. On en tire
Or, le module du premier membre ne dépasse pas l'unité; il en résulte que 'f (^) aura en a un point ordinaire, car, dans le cas contraire, le second membre aurait en a un point essentiel, et, par suite, son module pourrait certainement dépasser un.
La forme de "(3) montre que le coefficient de i est positif et devient infiniment grand, quand z se rapproche indéfiniment d'une manière quelconque de a. Or, pour toute valeur de
pour laquelle
M étant une quantité positive très grande, la fonction f{ii) est elle-même très grande. On le voit de suite, en ramenant le point dans le quadrilatère fondamental du groupe arithmétique par une substitution
m étant un entier positif ou négatif, et nous savons (\ne f[ii) devient infinie pour le point à l'infini dans ce quadrilatère. Revenant donc à l'identité
nous en concluons que, quelle que soit la manière dont ;: se rapproche de a, la fonction F(^) augmente indéfiniment. Le point a
serait donc un pôle pour F(^) et la même impossibilité est encore mise en évidence.
20. Les contradictions, qui viennent d'être successivement signalées, montrent que l'hjpothèse faite sur les racines des trois équations considérées est inadmissible, si a est un point singulier essentiel; nous avons donc démontré le théorème énoncé au §15, auquel on peut encore donner la forme suivante :
SiY(^z) désigne une fonction uniforme de z dans le voisinage de a, qui est pour elle un point singulier essentiel isolé, il ne peut pas arriver que les trois équations
niaient pas simultanément une infinité de racines autour de a, en désignant par Ai, A2, A3 trois constantes distinctes {la constante infinie n^ étant pas exclue).
Nous pouvons encore dire que :
Si les trois équations précédentes n^ ont pas une infinité de racines autour de a, F(s) étant une fonction uniforme qui^ dans un cercle F, décrit autour de <2, pourrait avoir ce seul point comme point essentiel, on peut affirmer que a sera un pôle ou un point ordinaire de F (5).
21. De ce théorème général se déduisent immédiatement les deux propositions suivantes. Soit G(-s) une fonction entière : si les deux éciuations
a et h étant deux constantes finies distinctes, ont seulement un nombre limité de racines, la fonction entière G(^) sera un polynôme (^ ).
(') On a fait de nombreuses tentatives pour démontrer ce théorème sans rien emprunter à la théorie des fonctions modulaires. A ma connaissance, M. Hadamard a seul obtenu à ce sujet des résultats intéressants dans son beau Mémoire : Suites propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction consi-
SUR UXE CLASSE DE TRANSCENDAMES UNIFORMES. 355
Le point à l'infini ne pourra être, en effet, pour la fonction, un point essentiel, car nous avons les trois équations
G{z) = a, Giz) = b, G(^) = x,
qui n'ont pas de racine dans le voisinage de ce point.
On a encore l'énoncé suivant, qui nest qu'en apparence plus général : Soit f{z-) une fonction uniforme pouvant avoir des pôles en nombre quelconque et un seul point singulier essentiel à V infini. Si les trois équations
A, B, G étant trois constantes distinctes (l'infini non exclu), n'ont qu un nombre fini de racines, la fonction f(z) sera une fonction rationnelle.
22. Les théorèmes précédents s'étendent immédiatement aux fonctions uniformes sur une surface de Riemann. Représentons par A(^) une telle fonction, que l'on supposera n'avoir sur la surface que des points singuliers essentiels isolés. Si les équations
n'ont qu'un nombre limité de racines, la fonction \(z) n'aura pas de singularités essentielles et elle sera, par suite, une fonction algébrique de z, ramifiée comme la fonction algébrique définissant la surface de Riemann (').
dérée par Riemann {Journal de Math., xSgS). Soit une fonction entière
et supposons qu'on puisse trouver un nombre positif a tel que, à partir d'une certaine valeur de m,
M. Hadamard établît le théorème pour les fonctions entières satisfaisant à cette condition, mais toutes les fonctions entières ne rentrent pas dans ce type.
(•) E, Picard, Sur une propriété de certaines fonctions analogues aux fonctions algébriques {Comptes rendus, t. LXXXIX, 1879).
V. — Sur les transcendantes uniformes satisfaisant à une équation du premier ordre et du premier degré.
23. Les théorèmes démontrés dans la Section précédente permettent de faire quelques remarques intéressantes sur les transcendantes uniformes satisfaisant à une équation du premier ordre
et du premier degré
dy P(a?, y) dx Q(^,JK)
P et Q désignant deux polynômes en ^ et y premiers entre eux. Je les emprunterai à la thèse de M. Pelrovitch (^).
On peut tout d'abord, par une transformation homographique préalable, supposer que le degré de P par rapport à y surpasse de deux unités le degré de Q par rapport à cette même lettre.
Nous nous placerons donc dans cette hypothèse. De cette manière, la valeur y = ce est une valeur ordinaire, c'est-à-dire que l'intégrale qui, pour une valeur arbitraire Xq de ^, prend la valeur infinie, a un pôle au point œ^.
D'après les généralités étudiées au Tome II (p. 3^4 et suiv.), nous pouvons marquer à l'avance sur le plan les points qui ne seraient pas pour une intégrale des points ordinaires, des pôles ou des points critiques algébriques. Une intégrale uniforme ne pourra donc avoir dans le plan qu'un nombre limité de points essentiels.
Nous allons maintenant distinguer quatre cas :
i*^ Je suppose d'abord que l'équation
considérée comme équation en 1, admette, pour a; arbitraire, plus de deux racines distinctes. Désignons par
?l(^), ?2(.37), Os(x)
trois de ces racines; ce seront des fonctions algébriques de x, qui seront ou non des branches d'une même fonction algébrique.
(') Michel Petrovitcii, Sur les zéros et les infinis des intégrales des équations différentielles algébriques {Comptes rendus, ^^\, et Thèse de doctorat, Paris, Gauthier-Villars).
Pour une intégrale uniforme y de l'équation différentielle, on ne peut avoir
que pour un nombre limité de points x^ car, lorsque cette relation est remplie pour un certain système (^oj JKo)) i^ faut que Ton ait en même temps
P(^o. Jo)=o.
Sans cela, l'intégrale qui, pour ^ = ^Tq prend la valeur j^oj ne serait pas uniforme dans le voisinage de Xq (t. II, p. 325). Par suite, pour l'intégrale uniforme y que nous étudions, les équations
(4) j^çiCa-). y = o.Xx), j' = Ç3(:c)
ne pourront avoir qu'un nombre limité de racines. Ceci posé, envisageons le quotient
C'est une fonction de x n'ayant qu'un nombre limité de valeurs, et ne pouvant avoir qu'un nombre fini de singularités essentielles. Or les trois équations
A(^) = o. A(^) = i, A(.r)=co
n'ont qu'un nombre limité de racines, comme il résulte immédia lement de ce que nous venons de dire sur les équations (4). 11 résulte de là (§ 22) que A(^) est une fonction algébrique et, par suite, y (qui est uniforme) est rationnelle. Ainsi, si l'équation Q(.r, a) =z o a au moins trois racines distinctes, toute intégrale uniforme est rationnelle.
2*^ Supposons en second lieu que l'équation Q(x, ).)i=o ait seulement deux racines distinctes
et, en désignant par j une intégrale uniforme de l'équation, considérons le quotient
Soit Y une seconde intégrale uniforme, et formons aussi le quotient
En divisant ces deux quotients, nous obtenons l'expression
(.r-9,)(Y-cp2)
Elle n'a qu'un nombre limité de valeurs et ne prend les valeurs o, I et ce que pour un nombre limité de valeurs de x. (^eci résulte des propriétés, étudiées plus haut, des équations j^ — C2 = o, et de ce que, en dehors d'un nombre limité de points spéciaux, on ne peut avoir j)^ = Y, ce qui entraînerait l'identité des intégrales. L'expression (5) est donc une fonction algébrique de x, et par suite il ne peut y avoir deux intégrales uniformes qui soient des transcendantes distinctes, en entendant par là que toute intégrale uniforme s'exprime algébriquement à l'aide d'une première intégrale de même nature.
3*' Examinons ensuite l'hypothèse où l'équation Q(x, A) = o n'a qu'une racine distincte^ soit cp, (^) qui est alors nécessairement rationnelle. En posant
l'équation différentielle proposée devient
S étant un polynôme en z et dépendant rationnellement de x. Si nous désignons par ^,, Z2^ ^3 trois intégrales uniformes, le quotient
ne pourra devenir égal à o, i et go que pour un nombre limité de valeurs de x^ et par suite l'expression précédente sera une fonction rationnelle de x. Il ne peut donc y avoir plus de deux intégrales uniformes qui soient des transcendantes distinctes.
4" 11 ne reste plus à examiner que le cas où le dénominateur
CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. SSg
Q('^jJ') ne dépendrait pas de j'. On a alors une équation de Riccati
P étant un polynôme du second degré en y, et // ne peut alors exister plus de trois intégrales uniformes transcendantes distinctes, toute intégrale de l'équation s'exprimant à l'aide de trois d'entre elles.
Ainsi nous arrivons à la conclusion générale que, pour une équation différentielle du premier ordre et du premier degré, il ne peut y avoir plus de trois intégrales uniformes qui soient des transcendantes distinctes. Nous renverrons, pour une étude plus approfondie, au Mémoire cité plus haut de M. Petrovitch.
36o CHAPITRE XIV.
SUR CERTAINES CLASSES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES IRRÉGULIÈRES A L'INFINI.
I. — Généralités sur les valeurs des intégrales à l'infini dans une direction déterminée.
1. Désignons par/(^) une fonction réelle de la variable réelle ^, définie depuis une certaine valeur t^ de t jusqu'à ^ = -h oo. Nous dirons, d'une manière générale, qu'une telle fonclion est limitée si, à partir de ûq, elle reste en valeur absolue moindre qu'un certain nombre fixe qu'on puisse assigner; elle sera illimitée dans le cas contraire. Ceci posé, soient )h et Ào deux nombres réels (A, >)^2), et admettons que le produit
soit illimité quand t varie de /q à -h ^, tandis qu'au contraire le produit
tende vers zéro pour ^ = + x. Je dis qu'il existe un nombre A,) compris entre X, et ).2 tel que le produit
est illimité, tandis que le produit
a, pour t = oD, la limite zéro, en désignant par £ une quantité positive aussi petite qu'on voudra. On le démontrera en partageani l'intervalle (}.o Ao) en un certain nombre d'intervalles; il j aura
CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIOXS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 36 1
parmi ceux-ci un intervalle tel que, pour la limite supérieure, le produit correspondant sera illimité ou ne tendra pas vers zéro pour f = 3C, tandis que le produit correspondant à la limite inférieure aura zéro pour limite. On partagera de nouveau cet intervalle en un certain nombre d'autres, et Ton a ainsi une suite d'intervalles compris les uns dans les autres et tendant vers zéro. Ces intervalles auront donc une limite \q et pour un intervalle
£ et Tj étant des quantités positives aussi petites que Ton voudra,
le produit
aura zéro pour limite, tandis que le produit
e(X,+£)rx/(/)
sera iUimité. Ce produit ne peut pas être limité, car alors le produit ^
eO^+t)tf(^t) (o <£'<£)
aurait pour limite zéro pour t = -^ y:, et nous aurions donc mal choisi les intervalles.
Le nombre parfaitement déterminé Àqî nous l'appellerons le nombre caractéristique correspondant à la fonction.
La notion de caractéristique se généralise pour un système de fonctions
/i(o, Ain. •••. /«(o,
définies de ^o à -h zc. Si les produits
e>'/,(0, e^tf.in e^t/„{t)
ne tendent pas tous vers zéro pour f = -^ y:, mais qu'il en soit ainsi pour les produits
il existera entre A et ;jl un nombre ).o (qui peut être égal à X), tel que les produits
tendent vers zéro, tandis que^ parmi les produits
il y en a au moins un qui esl illimité.
2. J'envisage maintenant un système d'équations linéaires di premier ordre
(i) dt
les a étant des fonctions réelles de la variable réelle t. Je suppose que tous les a soient limités, c'est-à-dire moindres qu'un nombre fixe M pour t compris entre ^o et oc. Posons
Xi^yte^t {i = i, '1, n),
'). étant une constante pour le moment arbitraire. Le système devient
-2^ == («11— X)jl-i- «12^2 +...+ «1«7«,
-^ = ««Ijl -^ ««2/2 +...+ («„„— À j^,,.
En multipliant ces équations respectivement pary<, ^/•2, ..., jk« et ajoutant, nous aurons
le second membre étant une forme quadratique eny^^y2) •-■j J'/t- Si nous prenons pour "k une constante a suffisamment grande, le second membre sera une forme quadratique définie et négative, et
CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIOXS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 363
nous aurons par suite
dt "^
Par suite, quand t augmentera de /q à — x, la fonction
ira en diminuant. Il en résulte que j^, , j'o, . . .,yn restent en valeur absolue moindre qu\m nombre fixe, et, par suite, les produits
Xie-'*-K x-^e-^i, ..., Xne~^^
seront bmités.
Nous pouvons prendre pareillement pour À une constante ,3 suffisamment petite en valeur relative, pour que la forme définie dans le second membre de (2) soit positive, et alors nous aurons, de t^^
dt ^ '
et, par suite, la fonction
y\^yl-^--'-^yl
ira constamment en croissant. Il en résulte que les produits
Xye-'P', Xoe-'^t, .,., Xne-v>'^
ne peuvent tendre tous vers zéro.
En se reportant au paragraphe précédent, on peut alors énoncer le théorème suivant :
Tout système d'intégrales ^,, x.2, • - -, ocn du système (1) {en excluant seulement jc, = ^2 = • • - = -^^ = o) admet un nombre caractéristique )vo ( ' ) .
Une des conséquences ])ratiques les plus intéressantes de ce
(') Cet intéressant théorème est dû à M. Liapounoff, qui l'a fait connaître dans un .Mémoire important malheureusement publié en langue russe (Kharkoff, 1892). En m'envoyant récemment son travail, leminent géomètre russe a bien voulu me faire une analyse succincte des résultats qui s'y trouvent et qui sont principalement relatifs aux solutions asymptotiques des équations de la Mécanique. J'espère avoir l'occasion d'y revenir dans une autre partie de cet Ouvrage.
théorème est que, étant donné un système tel que (i), à coefficients limités, on peut trouver un nombre réel k, tel que les produits
tendent vers zéro pour t = -i- œ.
J] en sera évidemment de même, d'après les équations différen- -^ tielles, de
at ' dt dt
On conclut de là aussi que, si dans l'équation différentielle
les coefficients p sont des fonctions limitées quand la variable réelle t varie de t^ à + 00, on peut trouver un nombre k tel q
ue
dy . d'"r ,
^'' Tt""' ■■■' dï^ii' tendent vers zéro pour t = -\- co. ■
3. Nous avons supposé que, dans les équations différentielles, les coefficients étaient réels. Si ces coefficients étaient des fonctions complexes de la variable réelle t, on pqurrait employer les mêmes considérations. En posant, en effet.
Xi = x\ H- ixl, . . . , x„== x'„ ^ ix",^,
et de même pour les coefficients, nous aurions un système de 2/1 équations auxquelles s'appliquent les résultats précédents. Il y a dans tous les cas un nombre caractéristique, la variable t restant toujours réelle entre t^ et H- 00.
/^ On peut aussi considérer le cas où la variable t prend des valeurs complexes, mais en la faisant grandir indéfiniment avec un argument déterminé, et en supposant que dans ces conditions les coefficients a aient des modules limités. On posera en effet
et l'on aura une équation où la variable sera la quantité réelle r que l'on fera augmenter indéfiniment, pendant que to reste con-
CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 365
stant. Il y a alors un nombre caractéristique pour un argunient déterminé.
D'après le § 2, on pourra trouver un nombre k tel cjue les produits
tendent vers zéro pour /• = -h oo. Donc les produits
tendront vers zéro et, par conséquent, on pourra trouver une constante Jx telle que les produits
tendent vers zéro quand t s'éloignera à l'infini avec l'argument to. Ce résultat nous sera plus tard très utile. ^^
i. Dans le cas où les coefficients a ont une valeur déterminée pour ^ == 00, on pourra trouver une limite inférieure du nombre k dont nous avons parlé à la fin du § % en prenant
A étant telle que la forme quadratique, qui figure dans le second membre de (2) en j faisant / = x, soit définie et négative.
Ainsi, prenons par exemple l'équation linéaire du second ordre
d'^y dy
d^-=Pdx-^'iy^
où /? et ^ sont continues de ^0 i^i -1- ^, et prennent les valeurs p^ et ^0 pour ^ =: 4-co. Nous considérerons le système
dx-^'
dy'
t, en posant
y = ze^-^, y'= z'e^^^,
lous avons le sj:
stème
dz , .
^itsBmn,^
Nous devons prendre X de telle sorte que la forme quadratique
soit définie et négative^ ce qui nous conduit à considérer l'équation
les racines de cette équation sont réelles, l'une est positive et l'autre négative. Soit a une quantité supérieure à la racine positive de cette équation; nous sommes assuré que
y Q-ax
tend vers zéro, quand x augmente indéfiniment.
5. Voici encore, dans un ordre d'idées analogues, quelques remarques sur la façon dont se comporte l'intégrale pour x très grand, mais c'est le rapport
dx
que nous allons considérer. Reprenons l'équation ci-dessus
d^y ^dy
En posant
nous avons l'équation de Riccali
/ .. V dz ^
Considérons d'abord le cas où l'équation
— ^2 ^ p^z + ^0 = O [y9o = />(-4- ce), q^ = q{-{- x)j
a ses racines réelles, cpie nous désignerons par a et fj (a >- ^3). Nous appellerons a et b les deux racines de l'équation
— z^ -i~pz -{- q — o,
qui sont des fonctions de x tendant vers a et [5 pour ^ = x. Di-
rfx^ Pd^-*"!^-
CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 867
verses circonstances peuvent se présenter relativement à a et h, suivant que chacun d'eux se rapproche de sa limite, en croissant ou décroissant; supposons que nous ayons
et considérons une intégrale de (3), supérieure à a pour la valeur initiale Xq^ intégrale que nous désignerons par z. Nous faisons croître ^ de ^^ à -^- x, et nous voulons voir ce que devient l'intégrale-S. Celle-ci va d'ahord décroître, et elle décroîtra tant qu'elle sera supérieure à a. Or, elle ne peut atteindre a, car, aussitôt
qu'elle serait descendue au-dessous de «, elle devrait croître,
dz
-r- se trouvant alors positif. Il en résulte que z ira constamment en
décroissant en restant toujours supérieure à a; il j aura donc une limite pour l'intégrale z. quand x augmentera indéfiniment. Cette limite ne pourra être que a, car, si z tendait vers un nombre a' supérieur à a, l'équation
(4) x'—xo=j
dz
conduirait à une contradiction, le second membre restant fini quand z tend vers a'. Notre intégrale z a donc y. pour limite. Supposons maintenant c[ue
et prenons toujours une intégrale dont la valeur initiale pour X = Xq soit supérieure à a. L'intégrale :? ira encore en diminuant, tant qu'elle ne deviendra pas égale à a. Si cette circonstance se réalise, z ira ensuite en croissant, mais sans pouvoir atteindre de nouveau a, car elle ne pourrait alors dépasser «, devant à la fois, à ce moment, croître et décroître. Dans tous les cas z aura, par conséquent, une limite, et l'on voit coiiime plus haut que cette limite est a.
Nous venons de voir que toutes les intégrales, qui deviennent à un certain moment supérieures à «, ont a pour limite. La même conclusion s'applique aux intégrales qui deviennent, à un certain moment, égales à une valeur comprise entre a et 6, car elles vont alors en croissant et se rapprochent indéfiniment de a.
Le seul cas qui reste à examiner est celui où l'on aurait constamment
Quand b est supérieur à [3, il peut arriver, si la valeur initiale de z est entre ^ et 6, que z ait pour ^ = oo la limite j3. Si la limite de z n'est pas ^ (ce qui arrivera, en général), z continuera indéfiniment à décroître jusqu'à — a:, et la relation (4) montre que z deviendra égale à — co pour une valeur finie de x. Il j aura ensuite pour z passage de — • co à + co, et nous nous trouverons dans le cas précédemment examiné, c'est-à-dire que la limite pour ^ = co de notre intégrale est encore a.
JNous arrivons donc à la conclusion suivante :
La limite de — pour x = ce existe toujours; elle est, en général, égale ù a et peut exceptionnellement être égale à p.
