Tout ceci suppose cjue l'équation

— z- -i-poz -^ <^o = o

ait ses racines réelles. Les conclusions sont tout autres, si l'équa-

• • • • T-\ dz

tion a ses racines imaginaires. Dans ce cas, -j- sera toujours négatif et, par suite, z ira toujours en diminuant, à partir d'une valeur suffisamment grande de x.

Je dis que, pour une valeur finie de x, l'intégrale z deviendra égale à — co. Car d'abord il n'est pas possible que, pour ^ =: + co, z ait une limite finie déterminée^ c'est ce qu'on verra en refaisant le raisonnement du paragraphe précédent. Ensuite, il n'est pas possible que z atteigne seulement la valeur — co, pour x =z-}- ao, comme le montre encore la relation (4), dont le premier membre augmenterait indéfiniment, tandis que le second resterait fini.

Toute intégrale oscillera alors une infinité de fois entre + co et — 00, avec passage brusque de — co à + oo. Telle est l'équation

dont l'intégrale est

dz __ ,

c; = tang(a:-o — ^).

CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 869

7. En revenant au cas des racines réelles a et p, il est facile d'établir un lien entre le résultat du § O et les théorèmes démontrés plus haut. Puisque

lim — = a

on peut écrire

la fonction cp(x) avant zéro pour limite pour x ^= yz. Il en résulte que

/ [a + 9 (x)\ dx

Si donc l'on prend le produit

yxe-a^ {a>7.)

il en résultera que ce produit tend vers zéro, quand x augmente indéfiniment. Nous retrouvons donc bien le résultat obtenu plus haut.

8. Nous allons considérer maintenant le cas où les coefficients de l'équation linéaire

d-y dy

dx- dx

sont des fonctions complexes de la variable réelle x^ ces coefficients tendant \ers p^ et cjq quand x tend vers + x. En posant

nous avons Téquation

—, II' -\- pu -\- q — o.

dx ^ ^

Supposons que l'équation

u^'-T-poii ^^0 = 0

ait pour racines a et j3, la partie réelle de a étant plus grande que C3lle de 3-

Soit

on aura

(5) jy=(p-.)4i± /"'+?,.

Soient I « — a I :== /• et I z/ — [^ | cir p. Nous désignerons par s une quantité positive fixe, mais aussi petite qu'on voudra. Dans le plan delà variable complexe 11, les deux équations

représentent deux petits cercles C et C, comprenant respectivement à leur intérieur les points a et ^. Si u est tel que

la partie réelle du second membre de l'équation (5) sera négative, si X est suffisamment grand ; en effet, le dénominateur restera fini, et pour ^ = oo le numérateur devient égal au dénominateur, et, par suite, comme la partie réelle de p ^ a est négative, l'assertion est évidenle. JNous aurons ainsi, en posant

V = (^ -r- jV,

-j- négatif dans les conditions indiquées. On en conclut donc

que, pour ^ très grand, la fonction réelle r va en diminuant du

moment qu'elle est comprise entre — - et + -•

Supposons que pour la valeur initiale Xq^ prise assez grande, ç soit compris dans cet intervalle; il ira en diminuant, et, s'il

descend au-dessous de — 7 ? il lui restera toujours inférieur. Dans

ce dernier cas, v aura nécessairement — co pour limite, puisque s est aussi petit que l'on veut, et n aura alors y. pour limite.

On pourrait craindre que v n'atteignît jamais , et eût, par

suite, allant toujours en décroissant, une certaine limite finie /; u resterait toujours dans ces conditions à l'extérieur des courbes

CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. S"!

C et C . L'équation (5) nous donne

en désignant parla lettre Sl{a) la partie réelle de la quantité et d'où nous concluons

L U'-i-poU--r-qo]

le dénominateur ne s'annulerait pas à partir d'une valeur suffisamment grande de x, et il serait très voisin de ^^^.(^S — a). Donc, i' tendant vers /, le second membre resterait fini, tandis que le premier devrait augmenter indéfiniment.

Le seul cas où u pourrait ne pas avoir a pour limite serait celui où, £ étant donné, il arriverait qu'à partir de la valeur de ^,

pour laquelle y- est négatif quand v est compris entre — 7 et

-i-^j cette fonction (^ fût toujours supérieure à -• Mais alors la

limite de ç serait nécessairement -^ ce et, pa?- conséquent^ u aurait ^ pour limite.

Nous arrivons donc à la même conclusion qu'au § o, mais dans un cas plus général : la limite de u est en général a, et elle peut cependant exceptionnellement être égale à j^ (').

On tirerait de ce résultat la même conclusion relative à l'existence d'un nombre a tel que

ait zéro pour limite, quand x augmente indéfiniment; mais on doit remarquer qu'avec ce mode de raisonnement le cas où les parties réelles de a et ^3 sont égales se trouve ici exclu : nous

savons alors, d'après le § 6, que ~ peut ne pas avoir de limite.

(') Ce tliéorème est dû à M. Poincaré, qui l'a établi dans son Mémoire de VAmerican Journal of Mathematlcs (vol. VII, n° 3), Sur les équations linéaires aux différentielles ordinaires et aux différences finies. Comparer sa démonstration avec celle que nous donnons dans le texte.

M. Poincaré a étendu le théorème que nous venons d'établir pour une équation de second ordre à une équation d'ordre quelconque, et il a démontré le théorème suivant, que nous nous bornerons à énoncer.

Considérons l'équation linéaire d'ordre n

et soient p\, . . . , pi les valeurs de /?< , , . . , p,^ pour x == ^. En supposant que les racines de l'équation

aient leurs parties réelles distinctes, le quotient ^- a toujours une

limite qui est, en général, la racine dont la partie réelle est la plus grande, mais qui peut exceptionnellement, pour certaines intégrales, être égale à une des autres racines.

II. — Sur une classe particulière d'équations linéaires auxquelles s'applique une transformation de Laplace. Équations à coefficients du premier degré et équations à coefficients constants.

9. Les équations dont nous voulons parler sont les équations de la forme

d"iY p d'n-iy

OÙ les coefficients P sont des polynômes de degré/?. Nous traiterons dans cette Section le cas le plus simple de/? — i, qui est d'ailleurs cehii où la méthode réussit d'une manière complète.

Cherchons, avec Laplace, à exprimer j^-- à l'aide d'une intégrale

I v{z)e^^dz

dans laquelle les limites a et [5i sont des quantités indépendantes de X, que l'on déterminera ultérieurement, et v{z) représente

CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. SjO

une fonction inconnue de z. On aura

Calculons les produits

dv d»'

ix'' ' dx"'^

En intégrant par parties, il vient

^y=J ^'xe--^dz = {ve-^-)l^— f'^.^'-^dz,

Supposons la fonction r et les constantes a et ^3 telles que

(t'e^^)f = o, ..., (vz"'e^^)l = o. En posant

Po^aox-hbo, ri = atx-i-bi, ..., p,^^ = a^^x -^ b,„, l'équation dilTérentielle devient

r^ r d(çz"^) , n

I 1^ ao ~^^ h bovz'" — • • . e--^dz = o.

L'expression entre crochets ne dépend pas de x. Nous égalerons donc tout naturellement à zéro cette expression pour déterminer ç, qui se trouvera alors satisfaire à une équation de la forme

P(;) et Q(:: ) étant des polynômes de degré 77i en z.

En nous plaçant donc dans le cas général où les a et b sont des P. — 111.

374 CUAPITRK XIV.

constanles quelconques, on aura

dz Q(c) ^ , X,

^ni

et l'on prendra

V = eV-^iz - cciy^^' (- - '^2)^- . . . (^ — a,„)^-"'.

Il S'agit maintenant de déterminer a et p; c'est ce qui peut se faire de manières variées.

10. Quand A|, Ao, . . . , A,« ont leurs parties réelles positives,

ou pourra prendre

a = ai, p = a/ (/'= •^,, . . ., m)

et intégrer en prenant un chemin quelconque de a, à a/. Les

conditions

{vzf^e-^^)l^-o (A- -1,2, ...,m)

sont bien vérifiées, puisque (^ s'annule alors pour z :^=^ oc et pour z- = p. On obtiendra ainsi m — i intégrales visiblement holomorplies dans tout le plan ; il résultera de ce que nous allons dire plus bas qu'elles sont linéairement indépendantes.

On peut obtenir ces m — i intégrales d'une manière un peu difïerente qui conviendra, quels que soient les signes des parties réelles des À. Nous procéderons comme nous l'avons fait plus haut dans le cas des intégrales hypergéométriques (p. 3o3). Soit a un point quelconque. Nous considérons un chemin fermé C, partant de a et y revenant, après avoir tourné autour de a,, et jjareillement un chemin fermé G^ partant de a et y revenant après avoir tourné autour de a^. Nous allons prendre

le chemin total d'intégration étant formé des parties suivantes : C, parcouru dans le sens positif, puis Go parcouru dans le sens positif, ensuite G| parcouru dans le sens négatif, et enfin Go parcouru aussi dans le sens négatif. Dans ces conditions, la fonction V retrouve à la fin sa valeur initiale, et les conditions voulues sont bien vérifiées. (Chaque combinaison (a,, a/) nous donne ainsi une intégrale holomoiphe.

CERTAINES CLASSES d'ÉQLATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. Sja

n. On peut adopter bien d'autres chemins d'intégration; les chemins suivants vont nous conduire à m intégrales, dont il sera intéressant d'étudier les valeurs pour x réel positif et très grand. Nous nous plaçons dans le cas tout à fait général où aucune relation spéciale d'égalité n'existe entre les coefficients de l'équation différen t ie lie .

Prenons un des points a, soit a,. Par ce point je mène du coté des \ négatifs une parallèle P à l'axe ; des quantités réelles, en ayant posé

Nous allons prendre, comme chemin d'intégration, une sorte <le l^cet ayant son origine à TinGni négatif sur cette droite P. Le

Fis. 24.

/? Vôj

point a représente dans la figure le point à Tinfîni sur P; le lacet se compose de la portion a/?, d'un cercle G de rayon r, et de la portion /?j3, le point ,3 coïncidant à l'infini avec a sur la droite P. En supposant que la partie réelle de x soit supérieure à celle de — [Ji, l'intégrale correspondante

eV--{z — a,)>M ... (z — oL„^)>me-^dz

aura un sens, et les conditions complémentaires seront vérifiées. Nous obtenons donc ainsi m intégrales de l'équation différentielle. Nous allons chercher comment se comportent ces intégrales pour X positif et très grand.

Nous ne diminuerons pas la généralité en supposant a, = o et remplaçant x par x — [jl, ce qui revient à supposer que ui = o. Nous avons alors l'intégrale

•X (^z — 'j.i")>-i . . . {z — a,„ y-m e-^ dz.

Prenons d'abord l'intégrale

....{z— oc,nyme--^dz.

Je dis qu'elle tend vers zéro, quand x augmente indéfiniment en étant positif. On a, en effet, pour z négatif et inférieur à — /•,

£ étant une quantité positive convenable. L'intégrale sera donc en valeur absolue moindre que la valeur absolue de l'intégrale

iz[x-z)(;lz, c est-à-dire

et tendra, par conséquent, vers zéro pour x = 00. Pareillement le produit de l'intégrale par x^, k étant une constante quelconque, tend vers zéro pour x infini.

Il faut maintenant étudier l'intégrale le long du cercle C, en partant de p et y revenant. Nous commencerons par envisager l'intégrale

f z^e--^dz

le long de ce cercle, et par chercher la limite du produit

a:-X+i / z^e-^dz

pour ^ = 4- GC. Posons x z = — y\ nous aurons, à un facteur numérique près, l'intégrale

y>e-ydy.

prise le long d'un cercle F de rayon rx, et en partant du point rx dans le plan de la variable complexe t. Cette intégrale est une fonction bien déterminée de A; quand A a sa partie réelle supérieure à — i, on voit de suite que l'intégrale a pour valeur

et par suite, pour x --- c/:, nous avons la limile

[cA-^^ — \)y{\~-\),

r(>,4- i) désignant la fonction eulérienne de deuxième espèce. Ce résultat sera général, quelle (jue soit la valeur de la partie

réelle de A. On remarquera que ce produit est difTérent de zéro, sauf quand A est un entier positif ou nul. Quand A est un entier néo;atlf, la fonction F devenant infinie, le produit n'est pas nul.

Si nous revenons maintenant à l'intégrale proposée, nous développerons, pour z de module suffisamment petit,

en série de la forme

et, en appliquant alors le résultat que nous venons de trouver, il apparaît que le premier terme de ce développement donne seul une limite différente de zéro, quand, multipliant l'intégrale par ^'1+', on fait X = -^ yz (on exclut, bien entendu, le cas où )v, serait un entier positif). Quelques explications sont cependant nécessaires pour être complètement rigoureux.

Reprenons, en supposant, comme il est permis, le rayon /■ du cercle G suffisamment petit, le produit

Désignons par [\,t le reste de la série

Ao-T- A,^-T-. . .

f[uand on s'arrête après le terme AnZ-'^- On sait que, étant donnée une série entière, on peut trouver deux nombres ijl et p, tels que

I A„i <:Jip«,

et l'on aura alors

1 / p Nous avons à étudier la somme

[ a7>M+i j AQz'>^xe-^dz^...^x>-i+i f \„z'''+"e-^dz

On voit de suite, en posant zx = —y, que la dernière intégrale

est égale a

CHAPITIIK XIV.

en désignant par A un lacet dans le plan de la variable y partant du point r^ et j revenant, après avoir tourné autour de l'origine. Son module est donc, à un facteur numérique près ne dépendant que de ).|, moindre que le module de

Donc, quel que soit x^ on peut prendre n assez grand pour que le reste de la somme S soit inférieur à tel nombre qu'on voudra, car on peut supposer r^ <C i • ^n fera maintenant croître x indéfiniment, et pour les autres termes de (S), qui sont en nombre fini, on n'a qu'à appliquer ce que nous avons dit plus baut. Le premier seul donne une limite différente de zéro.

Nous pouvons donc conclure en disant que, sauf le cas exclu, le produit de l'intégrale par ^^i+' a une limite finie et différente de zéro pour ^-— + 00.

On a supposé a, =. o. En donnant à a, une valeur quelconque et rétablissant le terme dépendant de a, nous reviendrions à l'inté2:ralc

: CeV-^{z — a,)>M ...{z -- 'x,nj>-me^^dz,

relative au lacet qui correspond à a|. Pour être ramené au cas de a, = o, il suffit de remplacer z par a, -\- z, et c'est par suite au produit

que nous avons à appliquer le résultat qui vient d'être établi. Nous avons donc le théorème suivant, qui résume cette discussion :

En désignant par y, L^ intégrale coirespondant à aj, le produit

a une limite finie et différente de zéro pour x = -f- 00.

CERTAINES CLASSES d'ÉQLATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. OJO

12. Les ni poinls singuliers a nous donnent ainsi m intégrales

ri, y-i, ••.. j/"-

Z<? théorème précédent va nous permettre aisément de démontrer qu'elles sont linéairement indépendantes. Supposons, en effet, que nous ayons la relation

CijKi — C272 — • . --^ G,„j',« = o.

Rangeons les a dans Tordre

aj, aj, . . . , a,,,,

en supposant qu'ils soient ainsi rangés par ordre décroissant de grandeur de leur partie réelle; nous aurons

Faisons tendre x versPinfîni^ tous les termes, sauf le premier, ont zéro pour limite, puisqu'on a

et le premier facteur a une limite finie, tandis cjue le second tend vers zéro. Nous aurons donc

Cl = 0

et, en continuant ainsi, nous trouverions G2 = . . . = C,„ = o.

Le théorème est, par suite, établi.

13. Xous avons supposé que nous étions dans le cas général. Bien des cas particuliers peuvent se présenter; leur étude ne présente pas de difficultés sérieuses. Contentons-nous de considérer le cas où il j aurait deux racines égales pour le polynôme P(-) (§ 9). Nous aurions alors, en supposant a, ^^ 7.0,

ciz A2 Aj A3

CI1APJTR1<: XIV.

ol, par suite,

On pourra toujours considérer un lacet analogue à celui que nous avons formé tout à l'heure, qui nous donnera une première intégrale. On voit moins immédiatement comment on pourra avoir une seconde intégrale, celle qui correspond à un chemin joignant a, à ao quand ces deux points sont distincts. Il est possible d'approcher du point a, de telle sorte que \> tende vers zéro. Soit

:; — «1 = p ( cos 0 H- / sin 0 ) et soit

'^? ^ i L [cos (G -H a)— /sin(() h- a) I.

Il faudra que cos (8 -f a) soit négatif. Il j aura donc une certaine direction a, ^, et d'un certain côté de celle-ci (à droite par exemple dans V^fig. ^5) on aura les directions pour lesquelles

Icnd vers zéro, quand z se rapproche de a,. Si l'on [)rend alors un chemin partant de a, dans une de ces directions et revenant

en a, également à droite de a, ^, mais après être passé à sa gauche, l'intégrale correspondante ne sera pas nulle en général et donnera une seconde solution de l'équation linéaire correspondant à la racine a, .

14. Indiquons, comme exemple, une équation rencontrée {>ar Bessel dans des recherches de ^lécanique céleste

(Ji y ci y

dx^ dx -^

CERTAIMiS CLASSES DÉQUATIO.XS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 38 1

En appliquant les résultats précédents, on a

et, par suite,

On a ici

aj = — i, a, = -i- i.

En particulier, Tinlégralc liolomorplie sera donnée par l'intégrale définie

qui n'a de sens d'ailleurs que si la partie réelle de m est positive. En changeant z en zi^ on ramènera immédiatement l'intégrale précédente à la forme

dont le développement en série entière est bien facile.

lo. Clierclions encore ce que donne la méthode de Laplace pour une équation à coefficients constants

En posant

y= I ve--^dz,

et faisant la substitution dans le premier membre de l'équation différentielle, il vient, comme résultat de la substitution,

/ i>/(z)e-^-dz, *- a.

en posant

f{z) = ai z"' -^ «1 ^'«-i -^ . . . ^^ a,,,.

Nous ne pouvons pas ici former d'équation différentielle donnant r. L'application immédiate de la méthode ne donnerait donc que ç = o. Mais l'intégrale précédente sera encore nulle si nous

^;>^SEJJBRA^

382 CHAPITRK XIV.

prenons a -— ^3, et si nous intégrons le long d'un contour fermé à l'intérieur duquel le produit

soit holomorphe. Ainsi, l'équation proposée sera vérifiée si l'on prend

P(^) étant holomorphe dans une aire limitée par un contour le long duquel on prendra l'intégrale qui donne y. La méthode de Laplace conduit donc tout naturellement à la méthode dHntêgration des équations à coefficients constants développée par Cauchy dans un Chapitre de ses anciens Exercices.

On retrouve facilement de cette manière la forme élémentaire des intégrales des équations à coefficients constants. Soit a une racine multiple d'ordre /> de l'équation caractéristique

et considérons un contour C n'enveloppant que cette racine. Nous pouvons prendre

G(^) étant holomorphe dans G et les constantes A étant arbitraires. Nous avons à calculer

Jf ve'"-^' dz.

Pour avoir le résidu de rc^^-^, on pose z ^= y. -j- Ji ; il faut prendre le coefficient de j dans le développement. On trouve ainsi immédiatement

e^'^ (Go-h C^x-^- . . . ;- C,,^yxn-^ ),

expression dans laquelle les C sont, comme les A, des constantes arbitraires. On obtient donc ainsi les/? intégrales correspondant à la racine multiple d'ordre p.

Faisons encore une remarque intéressante relative aux équa-

CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 383

lions à coefficients constants. Je prends Tintéorale

Je long d'un cercle C, ajant l'origine pour centre et comprenant à son intérieur toutes les racines de f{z-). Montrons qu'on peut déterminer le polynôme P(^) d'ordre m — i, de telle sorte que

dy d"'-\v

^' dx"" ' dx"^-^

aient des valeurs données à V avance pour x = o. On a

Or soit, pour z très grand,

A,, . . ., A„i seront arbitraires si V{z) est un polynôme arbitraire d'ordre m — i. Les valeurs des A se trouveront déterminées de proche en proche en fonction des valeurs initiales de y et de ses dérivées jusqu'à l'ordre m — i. On peut remarquer qu'il résulte de là que C ensemble des intégrales correspondant à chacune des racines de Inéquation caractéristique forme bien un système fondamental.