III. — Application de la transformation de Laplace au cas

général.

16. Nous n'avons étudié dans la Section précédente que le cas où les polynômes P (§ 9) sont du premier degré. Arrivons à l'équation générale

où les coefficients P sont des polynômes de degré/? en x.

Nous reprenons l'intégrale

iNous avons plus haut transformé, au moyen de l'intégration par parties, les produits

dy d"^ y

-^ dx dx"'

Considérons maintenant les produits

dy d"iy

xPy, xi> -f , . . ., xP -— •^-. •^ dx dx'"-

Nous nous servirons à cet effet de la formule d'intégration par parties généralisée, à savoir

- ^^V 6^/^-1 V f/U di^^^ ^ \P " ~ dzP-^ dz "dzP^^

*-*u .rv^</..

dzP

, dz.

dzP

On a ici

xPy Tzz I vxPe^^'dz.

Nous poserons donc

U = P, V = e=^, et l'on aura alors

xPy^{vxP-^e-^)l -f^^xP-'-e-A ^-. . . — (— i)p-i T e--^ ^''^

Semblablement, pour réduire

xP ,- - = / vz '« xPe-^ dz, dx"' Ja

on posera

U = vz"\ V = e-^, et l'on a ainsi

c?'«v , . .R X , T'^ dPivz'n) ,

dx"^ '^ */a '^-^'^

CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LLNÉAIRES. 385

Soit maintenant

Po = Go xn —...,

et considérons dans l'équation différentielle transformée Tintégrale définie qui j figure. Cette intégrale est

La quantité entre crochets ne dépend pas de x. En l'égalant à zéro, nous obtiendrons une équation linéaire et homogène en r d'ordre/?, dont les coefficients sont des polynômes de degré /// en z. Ce sera l'équation

dp V

(6) (Go.- - Gi.— i-f-, ..- G,,) ;^, --...= o.

Si Ton peut choisir une fonction ç satisfaisant à l'équation précédente, et si l'on peut, par un choix convenable de a et [3, s'arranger de manière que les termes intégrés soient nuls, on aura une solution de l'équation proposée. Les termes intégrés sont de la forme

^'^ L <i^" Ja^ U=o,i,2 m )

On voit donc que la transformation de Laplace ramène (-intégration de V équation proposée d'ordre m à celle d'une équation d'ordre p.

17. M. Poincaré, dans le Mémoire déjà cité, a montré comment on pourrait réaliser toutes les conditions exigées pour l'application de la méthode, et comment, de plus, on peut ainsi étudier les valeurs des intégrales de l'équation proposée pour .r très grand et s'en allant à Tinfini dans une direction déterminée, que nous pouvons supposer d'ailleurs, sans diminuer la généralité, être la direction positive de l'axe réel.

Nous supposons aussi que Cq n'est pas nul, c'est-à-dire que les degrés de P,, . . . , P,„ ne surpassent pas celui de Vq, Enfin , il

n'existe aucune relation particulière d'égalité entre les coefficients des polynômes P.

Désignons par aj , a^, . . . , y.m les racines de l'équation

Go 5'" + C 1 ^'«-1 -4- . . . -f- G,„ =rr O.

Ce sont les points singuliers de l'éqnation linéaire (6) donnant v. L'équation (6) a, dans le voisinage de chacun de ses points singuliers, m — r intégrales holoniorphes ( ^ ), et l'on a une /?i'^'"'' intégrale de la forme

cp, [z) étant liolomorplie dans le voisinage de a,.

Gomme nous l'avons fait dans la Section précédente, menons par le point a^ une parallèle D à l'axe réel du côté des ^ négatifs (^ n= ^ -|- r/]). Nous allons prendre pour v l'intégrale non liolomorplie dans le voisinage de a,. Quand ;: s'en va à l'infini dans cette direction, nous savons (§ 2 de ce Chapitre) que l'on peut trouver un nombre ^ tel que

dv d"t V

' dz ' dz'"-

tendent vers zéro, quand :; s'éloigne ainsi à l'infini et, en augmentant a s'il est nécessaire, il en sera de même des produits

dv d'"^ V

dz ' ' dz'"- '

quel que soit l'exposant v.

En désignant, comme précédemment, par a et p le point à l'infini sur la droite D, les conditions (-) seront vérifiées si x est positif et suffisamment grand. On formera encore le lacet consi-

(») Nous nous appuyons sur ce que l'équation c/'" y f/"'"' y

où les/? sont holomorphes clans le voisinage de x ^ o, admet m — i intégrales holomorphcs autour de ce point. On voit, en eiïet, de suite, en substituant une série entière dans le premier membre de l'équation, que les ni — i premiers coefficients peuvent être pris arbitrairement, les centres se déterminant de proche en proche. Quant à la convergence^ elle se démontre par les procédés de compa-

CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. SSj

déré au § 10, et nous obtiendrons ainsi \\n système de m intégrales

ru j'i, ••-. y m

correspondant respectivement aux points a,, a^, ..., a„j. Nous n'avons maintenant rien à changer aux raisonnements développés dans le § 11, et nous avons donc encore la conclusion suivante :

Les produits

tendent vers des limites finies et différentes de zéro [sauf le cas d'un A entier et positif) quand x tend vers -r x.

18. Dans un second Mémoire sur les intégrales irrégulières des équations différentielles linéaires (*), M. Poincaré a complété le résultat précédent en montrant qu'on pouvait en déduire certaines expressions asymptotiques. Nous avons trouvé au § 11 que le produit

peut se mettre sous la forme

I x'i-^^ j Xoz''ie-^'dz — . . .

^>ie-^dz

les intégrales correspondent au lacet L, dont les deux extrémités sont à l'infini dans la direction indiquée et qui tourne autour de :; = o.

L'intégrale le long de L se compose d'une partie rectiligne et d'une partie circulaire le long de G. Pour la partie rectiligne, nous savons que le produit de l'intégrale par une puissance quelconque de X tend vers zéro quand x augmente indéfiniment. Bornons-nous donc à considérer

^>i-i I Aoz'>-ie--^dz-r-...~x^-^'^ I Anz'>'i+"e--^dz-^xfi^^ f RnZ>ne-^dz. -^c .'c Je

(') H. Poincaré, Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires (Acta matheniatica, t. VIII).

liappelons-noiis, d'autre part, que peut s'écrire

Or, le produit de l'intégrale

^ rx

par une puissance quelconcfue de x a pour limite zéro pour x infini. De même le produit du dernier terme de (S) par ^" a zéro pour limite quand x augmente indéfiniment. Pour le voir reportons-nous encore au § 11 et au dernier terme de la somme S

a7>»+i Tr,,^

\e'-^'ch

Le nombre n est maintenant déterminé. D'après l'expressioi de R/i, on voit de suite que le module du produit de

«^1 Tr^^î

est, à un facteur numérique près indépendant de x^ moindre que

celui de l'expression

I |jp«+ï

Le produit étudié tend donc bien vers zéro pour x = oc. Il en résulte c[ue, si l'on pose

/r pioduit

tend vers zéro pour ^ = H- oo. C'est ce que l'on exprimera en disant que le produit

est représenté asyniplotiquement par la suite ]S.

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