III

SgO CHAPITRE XIV. — CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS, ETC.

de l'équation différentielle; les coefficients des puissances successives de - dans le résultat de cette substitution doivent s'annuler,

puisque n est un entier qui peut être aussi grand qu'on veut. Les constantes a<, \^ et les coefficients P sont donc ceux qu'on obtient, quand on cherche à écrire que l'équation est vérifiée par une série de la forme

(P P Po H î- -f- — !- 4- .

Or^ c'est là un problème que nous avons déjà cherché à résoudre (Chapitre XI, § 22); nous avons trouvé m valeurs de a<, et à chacune de ces valeurs a correspondu un développement de la forme précédente. L'expression que nous venons de trouver pourjKi coïncide donc avec un de ces développements, et nous avons vu que ceux-ci sont en général divergents. INous arrivons donc au théorème suivant, dû à M. Poincaré {loc. cit.) :

Les m développements divergents de la forme

Pi P2

représentent asvmptotiquement m intégrales de Inéquation différentielle , quand x grandit indéfiniment en étant positif.

Nous avons, dans tout ce qui précède, supposé que x augmentait indéfiniment en étant réel et positif. D'après ce qui a été dit au § 3, il est possible d'étendre cette théorie au cas où x s'éloigne à l'infini avec un argument déterminé quelconque; mais il est important de remarquer que les rn développements divergents de la forme précédente ne représenteront pas asjmptotiquement, pour tout argument, les mêmes intégrales. Pour certaines valeurs de cet argument, il j aura passage brusque d'une intégrale à une autre, du moins en général. ^