I. — Équations à coefficients constants

i. Nous allons indiquer dans ce Chapitre quelques classes d'équations intégrables. Déjà nous avons trouvé, en appliquant la méthode de Laplace (Chap. XIV, § lo), la forme des intégrales des équations différentielles à coefficients constants; ce type esl le premier dont Euler ait donné l'intégrale générale.

Reprenons cette question pour la traiter d'une manière plus élémentaire. Soit l'équation à coefficients constants

(Jmy d'"-l y

En posant y = e--^" et faisant la substitution dans le premier membre de cette équation, il vient, comme résultat de la substitution,

oii f(z) désigne le polynôme

On voit donc que, pour avoir une solution e--^ de l'équation proposée, il suffit que z soit racine de l'équation caractéristique

Supposons d'abord que cette équation algébrique de degré m ait toutes ses racines distinctes : on obtiendra m solutions dis-

P. — III. on

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3q2 CHAPITRE XV.

tinctes de l'équation proposée en prenant pour z les m racines de l'équation caractéristique, soit a,, aa, ..., a^^. Pour s'en assurer, il suffit de considérer le déterminant formé par ces m solutions et leurs m — i premières dérivées. Ce déterminant, en désignant par s la somme des racines de l'équation caractéristique, peut s'écrire

^sx

e''^n(a/— :Lk).

Il n'est pas nul, puisque toutes les racines sont distinctes, et, dans ce cas, la solution du problème est complète.

2. Supposions maintenant que l'équation /(s) = o ait une racine multiple a d'ordre/? ; nous aurons bien encore la solution e^^, mais les considérations précédentes ne nous donnent que cette solution. Cherchons à exprimer j)^ à l'aide d'une fonction de la forme

où V désigne une fonction inconnue de x. On trouve immédiatement que le résultat de la substitution dans l'équation proposée est

r dv

et, comme

i .1. . .p dxP

puisque la racine a est d'ordre /?, on voit qu'on satisfera à l'équation proposée en prenant pour v un polynôme arbitraire de degré » — i ,

où les C sont des constantes arbitraires. A la racine multiple d'ordre/», correspondent donc/? intégrales particulières, et, dans tous les cas, que l'équation caractéristique ait des racines simples ou des racines multiples, on trouve ainsi m solutions particulières de l'équation linéaire. Mais, pour que la solution du problème soit complète, il importe de montrer que ces m solutions forment

CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. 3g?)

bien un système fondamental, c'est-à-dire qu'il ne peut exister de relation linéaire et homogène entre ces m solutions (*).