Considérons donc les racines distinctes a,, ao. x^ ajant
des degrés de multiplicité quelconques; nous aurons prouvé que les m solutions précédentes sont distinctes, si nous démontrons <[u'il ne peut pas exister une relation identique de la forme
(A) Pi 6^.-^-+- P,e-^^^-^...-r-P„e^nX = o,
où Pi, P2, . . ., P/i désignent des polynômes entiers en j:, sans que les P soient identiquement nuls. La démonstration est immédiate dans le cas 71 = 1 et n = 2.
Si /z=:i, c'est-à-dire si l'équation caractéristique a une racine multiple d'ordre /??, la relation linéaire et homogène précédente prend la forme
e^.-^(Go-f-G,.r--...-C,„,^'"-i) = o,
<e qui exige Cq = C, = . . . = G,„, = o. Si /i = 2, on devrait avoir
Pjea,^__ p.,ey:^ = o, <e qui est impossible, car on aurait alors
(3r une fonction rationnelle ne peut être égale à une exponenlielle qui est une fonction périodique et admettant un point essentiel à linfini.
Il nous suffit maintenant de démontrer que si une identité de la forme (A) est impossible pour n — i exponentielles, elle est aussi impossible pour n exponentielles.
En posant
l'égalité
Pi e^.-r -+-...— P„e'^„^ = o
(') Ce point a déjà été établi d'une manière indirecte (page 882) à propos delà métliode de Laplace; la démonstration du paragraphe suivant est plus élémentaire et plus directe.
devient
et, dans cette identité, toutes les lettres p sont différentes de zéro et différentes entre elles. Si [x — i est le degré de ?< , différentions jA fois cette identité, le terme Pi disparaîtra et nous devrons avoiiidentiquement
Dans cette identité, le nombre des ^ est égal à /^ — i, les coefficients des exponentielles sont des polynômes en x^ qui devront être identiquement nuls, puisque le théorème est supposé établi pour n — I exponentielles. Donc P2 est un polynôme qui doit satisfaire à l'équation différentielle à coefficients constants
^!^P2 Q ^H--iP2
dont l'équation caractéristique est visiblement
La solution générale de cette équation est
Elle ne peut se réduire à un polynôme, puisque [3, est différent de zéro, que si tous les G sont nuls. Donc P2 est identiquemenl nul. Il en est de même des autres polynômes et le théorème est démontré.
4. Au lieu d'une seule équation, considérons maintenant un système d'équations différentielles linéaires et homogènes du premier ordre à coefficients constants
dvi
-^ = «^21^1 -^ «22/2 +. ..-H Cl,„iyni,
dy
, — «//Jl7l + «/«272 -+-...+ Cimmyni'
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. 3g5
C'est le cas qui se présente en Mécanique lorsqu'on étudie les petits mouvements au moyen des équations de Lagrange, et en se bornant au premier ordre.
On a un système de solutions en posant
yi= Aie>^-^, jr2 = Ao^^-^,
oii les A désignent des constantes et À un nombre convenablement choisi.
En effet, en substituant dans les équations proposées et supprimant e^'-^, il vient
Al («11 — X) H- Ao^io
• •+ A,„ a 2 fil
Al a,
-}- Ao CL/ni
ce qui exige que A satisfasse à l'équation caractéristique de degré m
fW
«ml
«/«2 ^min '^
Si les m racines de cette équation sont distinctes, à chacune d'elles correspondra un système de valeurs pour A,, Ao, .... A,,^ et, par suite, un système de solutions pour jr<, JK25 • • • j y m- Aux m racines distinctes correspondent donc m systèmes de solutions particulières.
5. Supposons maintenant que l'équation /( A) = o ait des racines multiples. Pour traiter ce cas de la manière la plus rapide, nous reviendrons aux expressions deyi, y .2-, .... y m par des intégrales de la forme
yi= j Vi{z)e-^dz
prises le long d'un contour fermé, et dans lesquelles les c sont des fonctions à déterminer.
Substituons dans les équations différentielles : nous aurons m
intégrales qui devront être nulles :
[^l(^ml -f-t^2«//r2 -i- . . . ^ V,n(a,nm— '^)] e--^ dz
Ces équations seront satisfaites si l'on prend pour Pi, (^2, -"j^m des fonctions telles que les multiplicateurs de e^-^ se réduisent à des fonctions iiolomorphes de i; à l'intérieur du contour le long duquel on intègre. Nous pourrons, par exemple, déterminer les fonctions ç à l'aide des m équations linéaires non homogènes
Via^i +f2(«22 -3) -+-...+ Pm<22/« =0,
^'l«/nl -^^2 a ,,12 -^- . -H- ^w(«/«m— -) = O,
où P(^) désigne une fonction holomorphe arbitraire.
Le déterminant des coefficients de ces équations est précisément f{z), et, si l'on désigne par 'i>i(^), • . . , 'lim{z) les mineurs du premier ordre correspondant à la première ligne, on tirera des équations précédentes
UZ)P(Z) ^m(^)P(z)
Il reste à fixer le contour d'intégration. Soit a une racine multiple d'ordre/» de l'équation caractéristique
nous considérons un contour C n'enveloppant que cette racine. Nous avons alors à calculer, pour obtenir les y, les résidus des fonctions (^. On trouve ainsi immédiatement, pour la fonction r, par exemple, que ce résidu est de la forme
OÙ les R désignent des polynômes déterminés en œ de degré/? — i .
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. Sg-
On pourra donc poser
^1 =.ex^[A, R,(>)— ...-H ApRplo-)],
et l'on aura ponr ji'o, y,„ des expressions semblables, avec les
mêmes constantes arbitraires A, mais avec d'autres polynômes R. On voit donc ainsi qu'à une racine multiple d'ordre p du poly nome caractéristique correspondent/? systèmes de solutions.
II. — Sur une classe d'équations à coefficients rationnels et à intégrale générale uniforme.
6. Nous allons considérer maintenant une équation à coefficients entiers,
où les P sont des polynômes en x, dont le degré est au plus égal à celui du premier d'entre eux Po-
On suppose que V intégrale générale est uniforme, et que tous les points singuliers à distance finie appartiennent à la classe particulière étudiée par M. Fuclis (Gh. XI, § 9). Seul, le point à l'infini peut présenter une singularité essentielle.
Halphen a donné, au sujet des équations précédentes, une proposition très intéressante, que nous allons faire connaître ('). Remarquons de suite que si l'on pose
R(^) étant une fonction rationnelle, l'équation différentielle en :; restera de même forme, c'est-à-dire que ses coefficients seront encore des polynômes, le premier étant de degré supérieur ou égal à celui des autres. Cela étant, on peut fixer a priori les pôles .r<, X2i ... de toute intégrale, et leurs ordres maxima de
(') Ces équations ont été étudiées par Halphen dans une Note des Comptes rendus {t. Cl, p. 1288; i883); il les regardait comme un cas limite des équations à coefficients doublement périodiques et à intégrale générale uniforme. Nous avons suivi dans le texte la méthode donnée par M. Camille Jordan dans le Tome III de son Traité d'Analyse (page 21 3).
multiplicité, que nous désignerons par jx, , jji^, ... Si l'on fait alors la transformée
{X ^1 jlJ'i(a? — X.2)\^J. . .
nous aurons une équation
dont l'intégrale générale sera une fonction holomorphe dans tout le plan. En posant maintenant z = Ze«-^, où a est une constante, on aura encore une équation de même forme dans laquelle le coefficient de Z est
On peut choisir a de manière que dans ce coefficient le terme de degré le plus élevé en x disparaisse. Ecrivons alors l'équation en Z
(3) - Ro^^^-...-f-R,„Z=o.
Le polynôme Rq est alors d'un certain degré/?, les autres polynômes R sont au plus de degré/?, sauf R,„, qui est au plus de degré p — I . On aura
7— ^ ao -i- 1 ,
nu {x — ai)
en désignant par ai les diverses racines de Ro- L'équation fondamentale déterminante relative à ai est
l^a somme de ses racines est
Puisque l'intégrale générale est holomorphe autour de x^=^ai^ ces racines sont nécessairement entières, non négatives et inégales (sans quoi il y aurait des logarithmes dans les développements). Leur somme est donc au moins égale à
, , mim — f) o — I -h 2 4-. . .-f- (/?i — i) ou — ^ -.
(XTNIVERi
CLASSES d'équations LINÉAIRES WtÉGRABLESi"^'''^ 899
Donc a/ est un entier négatif ou nul et, par suite,
la sommation s'étendant aux différents points singuliers at.
Ceci posé, supposons que R,„ ne soit pas nul identiquement. En
posant -r- '=1^ ■) on a
et, en différentianl,
" dx"^ ^ ^ ' dx"i-^
L'élimination de Z entre ces deux équations donne //'"Z' d'^-'^Z'
(4) Ro R,. -d^-y^K- Ri) R- - RoR;.] ^^— 3r --•••-= o
et cette équation est toujours du même type. Le rapport des deux premiers coefficients est dans cette équation
Ro Ro Rw
Le coefficient de - dans le développement de ^ est égal à y?, et
R' dans -—^ il est au plus égal k p — i , puisque R,„ est au plus de de-
gré/? — I . Donc, pour l'équation (4) en Z', si l'on forme la somme analogue à Sa/, on trouvera une somme supérieure à celle que l'on a trouvée pour l'équation (3) en Z.
On pourra raisonner sur l'équation (4) comme on a raisonné sur l'équation (3), pourvu que le dernier coefficient ne soit pas nul, et l'on continuera ainsi tant que l'on ne sera pas arrêté.
Or, on ne peut continuer indéfiniment ces transformations, car la somme désignée d'une manière générale par Sa est un entier négatif, qui augmente à chaque transformation. Il arrivera donc un moment où l'on aura une équation dont le dernier coefficient sera identiquement nul; par suite, comme ces équations correspondent aux dérivées successives de Z, il y aura une intégrale de l'équation (3) dont la dérivée d'un certain ordre se réduira à une
constante. L'équation (3) admettra donc un polynôme comme intégrale particulière et, par suite, en revenant à l'équation (2), en tenant compte du facteur exponentiel, on aura une intégrale
de la forme
e«'^-G(ir), (t(^) étant un polynôme.
Et nous avons enfin, pour l'équation donnée (i), une intégrale
de la forme
S{x) étant une fonction rationnelle.
7. Nous pouvons maintenant démontrer facilement le théorème d'Halphen, d'après lequel un système fondamental d^ intégrales de l'équation (i) est, sous les conditions indiquées, formé par les fonctions
e«.-^Si(a7), e«2^S2(^), ..., e«m^S,„(^),
les S étant des fonctions rationnelles et les a étant des constantes qui ne sont pas nécessairement distinctes.
Admettons que le théorème soit établi pour une équation d'ordre /??— 1 , nous allons le démontrer pour une équation d'ordre m. Cette équation admet, d'après ce qui précède, une intégrale de la forme
si l'on pose
y ^y\ j udx,
l'équation en u sera d'ordre m — 1 , elle appartiendra au même type, et son intégrale générale sera uniforme, puisque
" "~ dx V Ji / Soit donc une intégrale de l'équation en w, de la forme
e^^ S ( 07 ) , S(;r) étant rationnelle; il correspondra, pour y, une intégrale
y—yx I e^^'^S{x)dx.
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. l\0\
Cette fonction jK doit être uniforme; or, en faisant la réduction d'une intégrale
on sait qu'on est conduit à une fonction de la forme
2 étant rationnelle, et à une somme de termes de la forme j^-^ dx ^ r e>^-^' dx
les coefficients A, B. . . . étant des constantes ; si tous ces coefficients ne sont pas nuls, nous aurons des termes logarithmiques dans les développements et, par suite, l'intégrale ne sera pas uniforme. Aux /?i — i intégrales de l'équation en «, formant par hypothèse un système fondamental , correspondent par conséquent m — I intégrales de l'équation en y qui, avec y^, forme un système fondamental de cette dernière équation, et le théorème est démontré.
8. On peut adjoindre bien aisément au théorème d'Halphen une réciproque. Considérons une équation linéaire dont un système fondamental serait formé par les m fonctions
e«.-^Si(:r), e^2-^S.2(x), ..., e«".-r S,„(a7),
les S étant des fonctions rationnelles et les a des constantes qui ne sont pas nécessairement distinctes. Il est évident que ces fonctions, supposées linéairement indépendantes, satisfont à une équation linéaire d'ordre m, dont les coefficients sont rationnels. En mettant les coefficients sous forme entière, ces coefficients deviennent des polynômes, et l'on a alors une équation de la forme
dx"' dx"'-^ -^ '
les P étant des polynômes. Il faut prouver, et ce sera la réciproque du théorème d'Halphen, que le degré de Pq est supérieur ou égal aux degrés <^e P,, . . . , P,„.
Le théorème est immédiat pour m == i, car si
y = e«i-^Si(a-) on aura
dx S', (:r)
Or, si Si(^) représente la fonction rationnelle ^, %^^- est , , , ^ ^i(^)
égal a
irv— uv'
UTV
et le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Si l'on suppose maintenant le théorème établi pour m — i fonctions de la forme indiquée, nous allons l'établir pour m fonctions de même sorte. Considérons les m fonctions
obtenues en divisant par e^i^Si (^) les termes de la suite donnée. (]es m fonctions satisfont à une équation à coefficients entiers
d'^^z d»^-^z dz
Il n'y a pas de terme en z^ puisque l'équation doit être vérifiée pour z = constante. Or, si l'on pose
on aura l'équation d'ordre m — i
qui admet pour intégrales
dx\ ^,r dx
e..-aM^\, ..., ^ (..».-«.- y
et ces expressions sont de la forme indiquée. Le théorème étant vrai pour m — i expressions, le degré de Qo n'est inférieur à celui d'aucun des autres polynômes Q<, . . ., Q,««.
CLASSES d'ÉQLATIO>S LINÉAIRES INTÉGRABLES. 4o3
Si maintenant dans l'équation (5), qui est du type cherché, nous posons
e^^^Siix)
l'équation transformée en y reste du même type, comme nous l'avons déjà dit plus haut, et nous avons finalement l'équation cherchée en y, où le premier coefficient est d'un degré au moins égal à celui d'un quelconque des autres.
III. — Des équations différentielles à intégrale générale uniforme
pour tout point d'une surface de Riemann.
Cas de p = I : équations à coefficients doublement périodiques.
9. Considérons une équation dont l'intégrale générale ii serait uniforme et régulière dans le voisinage de tout point (x^y) d'une surface de Kiemann définie par une équation algébrique f{^,y) = o. Les coefficients d'une telle équation, quand le premier d'entre eux est supposé égal à un, sont des fonctions du point analytique (.r, y), restant non seulement uniformes et régulières dans le voisinage de tout point de la surface, mais restant déplus uniformes sur la surface entière; ce sont donc des fonctions rationnelles de x et y. Nous avons donc une équation de la forme
-i ^- Pi —j ; H-. . .-^ P,«M = O,
dx"^ dx^-^ '
où les P sont des fonctions rationnelles de x et y. Cette équation n'est pas quelconque, puisque nous supposons que, dans le voisinage d'un point quelconque de la surface, l'intégrale générale est uniforme. L'intégrale générale n'est d'ailleurs pas uniforme sur la surface tout entière, c'est-à-dire que si l'on part d'un point et qu'on y revienne après avoir décrit un contour fermé, l'intégrale pourra ne pas reprendre la même valeur. Il n'en serait nécessairement ainsi que si le genre de p de /(^jy) = o était égal à zéro, auquel cas la surface de Riemann se réduit à un plan simple.
Traçons sur la surface de Riemann les p rétrosections (T. II,
4o4 CHAPITRE XV.
j). 879 et suiv.) et le contour total K, rendant la surface simplement connexe, formé par les p rétrosections et certaines lignes les joignant deux à deux à la manière d'une chaîne. La surface étant rendue simplement connexe, toute intégrale de l'équation différentielle devient uniforme si le point (^, y) ne traverse pas le contour K. Si nous prenons deux points a et b sur une rétrosection, de part et de l'autre de la coupure C, par exemple (se reporter à la figure de la page 891, T. IT), et que
Ml, U2, . . . , u„i
représente un système fondamental d'intégrales, celles-ci, quand on passera de a en ^, sans traverser K, se retrouveront avec d'autres valeurs, qui seront nécessairement de la forme
an Ml -^ «12 M2 -4- . . . ^- a^^ Um ,
«21 Ml -t- «22 M2 -I- . . . -r- «2/« ^^ m ■:
(^ni\ Ml -!- «/«2 M2 -r- . . . -r- dniin M/« ,
les a étant des constantes. Une certaine substitution linéaire correspond donc à la coupure G; il en sera de même, pour chacune des parties des rétrosections, et l'on a ainsi ip substitutions linéaires. Quant aux lignes joignant deux à deux les rétrosections, il ne leur correspond pas de substitutions nouvelles, c'est-à-dire que les substitutions correspondantes sont des produits des substitutions précédentes et de leurs inverses. Ainsi, par exemple, supposons, comme dans la figure de la page Z^jCf (T. II), que la rétrosection (CD) soit la dernière de la chaîne; prenons deux points sur pq, dont l'un est sur un bord de cette coupure et l'autre sur l'autre bord. Désignons par S et 2 les substitutions linéaires correspondant respectivement aux coupures G et D, sur lesquels on aurait marqué un bord positif et un bord négatif, ces substitutions correspondant au passage du bord positif au bord négatif; la substitution correspondant k pq s'obtiendra en faisant le produit des substitutions
qui correspond à la rétrosection (G, D) tout entière. Nous avons donc, pour tout chemin tracé dans le plan, à combiner les 2/>
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. i\o5
substitutions
(6) Si, 2„ S2, 2o, ..., S,„ v^^
correspondant aux p rétrosections. Il y a entre ces 2/> substitutions une relation facile à obtenir. Si l'on décrit le chemin K tout entier, la substitution correspondante doit être la substitution unité, puisque ce contour rend la surface simplement connexe. Soit d'abord p = 2; en partant d'un point de la coupure/?^ et en y revenant après avoir décrit le contour K, nous aurons en choisissant convenablement les sens positif et négatif sur les rétrosections
SiSiSY*l7»S2^.2S7^^i* = i.
La relation a une forme moins simple, si p est supérieur à deux; prenons/? = 3, et supposons que les rétrosections se suivent en chaîne dans l'ordre i, 2, 3. On aura, en dénommant convenablement les rétrosections et choisissant convenablement les sens positif et négatif,
S.v.S-iv-i<2,Q V Q-iv-iv,S-iv-i — ,
et il n'y aura aucune difficulté à obtenir la relation analogue pour p quelconque ( ' ).
Les substitutions (6) ne sont pas, en général, échangeables, c'est-à-dire que Je produit de deux quelconques d'entre elles dépend de l'ordre des facteurs. C'est cette circonstance qui fait toute la difficulté de la théorie des équations précédentes et ne permet pas d' en faire une tJiéorie simple; aussi nous nous bornerons au seul cas où, en général, les substitutions sont échangeables, je veux dire le cas de p ^r:: i .
10. Soit donc maintenant/? =:^ i . Il n'y a qu'une seule rétrosec-
tion et deux substitutions
S„ Si.
Elles sont échangeables ; c'est ce qui résulte de ce que la substitution correspondant à la rétrosection est la substitution unité.
(') A la fin de son Mémoire Sur tes fonctions à multiplicateurs {Acta Ma- Ihematica, t. XIII), M. Appell consacre quelques pages aux équations qui nous occupent et indique quelques exemples.
4o6 CHAPITRE XV.
(3n a ainsi
d'où l'on déduit immédiatement
SiSi = Ei8,,
c'est-à-dire que le produit des deux substitutions S, et Sj est indépendant de l'ordre des facteurs.
Nous pouvons donner une autre forme à l'équation différentielle ([ui nous occupe; exprimons à cet effet les coordonnées x ely à l'aide de fonctions doublement périodiques d'un paramètres. Si // désigne l'intégrale générale de l'équation, la fonction u de z sera uniforme dans tout le plan de la variable complexe z, puisqu'elle était uniforme dans le voisinage de tout point (^, y) de la surface de Riemann. INous avons donc une équation de la forme
f/fn II (^lni—\ Il
les p [z) étant des fonctions doublement périodiques de z aux périodes co et w', et l'intégrale générale étant une fonction uniforme n'aj'ant , à distance finie, d'autres points singuliers que des pôles.
Les deux substitutions 84 et S,, considérées plus haut, correspondent respectivement au changement de s en s + co et z -\- oj'; et dire que ces substitutions sont échangeables revient à dire que toute intégrale reprend la même valeur quand on change z en s + to, puis dans le résultat z en z -\- co', ou bien quand on change z en z -\- w', puis dans le résultat z en z -\- to, ce qui est évident puisque l'intégrale est uniforme.
\\. Dans ses mémorables recherches sur quelques applications des fonctions elliptiques (i), M. Hermite avait considéré une intégrale particulière du type (E) : c'est l'équation de Lamé
^=[n(/i-f-i)A-2sn2.-H-;i]jK,
(') Gii. ViERsni^, Sur quelques applications des fonctions elliptiques {Comptes rendus, années 1877 ^^ suivantes).
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. ^OJ
OÙ sn:; désigne la fonction elliptique de module k^ n un entier positif et h une constante quelconque. M. Hermite avait montré, par un calcul direct, que l'intégrale de cette équation pouvait être obtenue à l'aide des transcendantes de la théorie des fonctions elliptiques. Le résultat qui se présente pour l'équation de Lamé n'est pas fortuit; des circonstances analogues se présentent pour toute équation différentielle du type (E), c'est-à-dire pour toutes les équations linéaires à coefficients doublement périodiques et à intégrale générale uniforme (^).
Partons donc d'une équation (E) à intégrale générale uniforme, et désignons par
un système fondamental d'intégrales. Les fonctions
seront aussi des intégrales, puisque l'équation linéaire ne change pas quand on change ; en ^ -7- to.
On aura donc
Ol(^-f- W) = «iiOi(^) — ai202(^)-i-.. .+ «l,„'-p,„(^), •)
les a étant des constantes. D'après le théorème fondamental relatif à la réduction des substitutions linéaires (voir p. 20^ de ce Volume), on peut trouver une combinaison des cp à coefficients constants
■ /i(^) = ai?i(-)-^..--^a,„ç,„(^),
qui se reproduise à un facteur constant près, quand on change z en z-\-{ù. En général, on aura m combinaisons de cette forme; mais, dans tous les cas possibles, on en aura au moins une. Soit/*, une telle combinaison; j'envisage la suite des fonctions
qui sont toutes des intégrales de l'équation. Entre les /z 4- i pre-
(') E. Picard {Comptes rendus, 21 juillet 1879, 19 janvier et 16 février 1880, et Journal de Crelle, Tome XC). Voir aussi le Tome II du Traité des /onctions elliptiques (I'Halphen-, et le Tome III du Traité d'Analyse de M. Jordan. P. - m. 28
4o8 CHAPITRK XV.
mières de ces fonctions, n étant inférieur ou égal à m, existera une relation homogène et linéaire à coefficients constants, puisque Téquation ne peut avoir plus de m intégrales linéairement indépendantes. En prenant pour n le plus petit nombre possible, nous aurons
fi{z-\- nw') = bifi{z)^ àofi{z -^ w')+. . .-4- bnfi[z-^{n—i)bi']^
h\ étant différent de zéro, puisque autrement on aurait une relation linéaire entre les ii premières fonctions de la suite. Posons
f^{z -h m') = bifi(z) -{- . . .-{- b,Jn(z).
En appliquant encore le même théorème sur les substitutions linéaires, on voit qu'il existera une combinaison linéaire
se reproduisant à un facteur constant près, quand on change z en z -^ is>' \ cette combinaison linéaire ne sera certainement pas identiquement nulle, d'après la façon dont on a choisi le nombre n. D'autre part, la fonction ^{z) se reproduit aussi comme /<, à un facteur constant près, quand on change ^ en ^ + w. Nous avons donc pour intégrale une fonction ©(5), jouissant de la propriété suivante
UL et \x! étant deux constantes. M. Hermite, qui, dans le travail cité, a fait une étude approfondie des fonctions uniformes à discontinuités polaires jouissant de la propriété précédente, les appelle des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, en réservant le nom de fonctions doublement périodiques ordinaires ou de première espèce aux fonctions de cette nature correspondant à jjl ;= ]j!z=i\. Avec cette terminologie, nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui est fondamental dans cette théorie :
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. 4o9
Toute équation E admet toujours pour intégrale une fonction doublement périodique de seconde espèce.
Le théorème précédent ne souffre aucune exception ; si l'on se borne au cas général, on pourra aller plus loin. Nous avons trouvé une fonction de seconde espèce comme intégrale de Téquation différentielle, or la méthode qui nous y a conduit donnera en général m intégrales de cette nature, et l'on peut dire par suite que les écjuations E ont en général un système fondamental d'intégrales qui sont des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.
12. On peut obtenir facilement, dans tous les cas, la forme des autres intégrales de l'équation donnée. Soit -i/, [z) l'intégrale doublement périodique de seconde espèce qu'admet toujours l'équation; en posant
y = ^,{z) f\dz\
on aura pour Y une équation d'ordre m — i, du tjpe E, dont l'intégrale générale sera aussi uniforme, puisque
dz\'b,{z)
Elle admettra donc une intégrale '^-^-li^) doublement périodique de seconde espèce, et l'on continuera ainsi de proche en proche, de telle sorte qu'on obtient le système fondamental
y, ='l,{z)J^,{z)dz,
yz =^,{z) f^,(z)dz f^h,{z)dz,
ym
'b,{z)J'}.,iz)dz f. . .J6,n{z)dz
bm étant des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.
13. Si l'on veut aller plus loin, il est nécessaire d'introduire les transcendantes de la théorie des fonctions elliptiques. Je ren-
4lO CHAPITRE XV.
verrai, pour l'étude de ces transcendantes, au Cours lithographie de M. Hermite.
La fonction H(^) de Jacobi va jouer le rôle essentiel ; c'est une fonction entière de :; satisfaisant aux deux identités
U(z-{-oi ) = — H(^)
(JÙ
(0 et iù' étant les deux quantités que Jacobi désigne par 2K et ii¥J.
M. Hermite a montré comment on pouvait décomposer en éléments simples toute fonction doublement périodique de seconde espèce. Considérons une telle fonction F(^) dont les multiplicateurs |JL et [jl' ne puissent être mis sous la forme |Jt. = e^^^ '^J -.= e^^\ en désignant par h une constante convenable; l'élément simple est alors la fonction
Hiz)
on peut choisir les constantes Q et X de manière que les multiplicateurs de cette fonction, qui est une fonction doublement périodique de seconde espèce, soient [x et p.'. On aura alors
(5) F(^) = S [Ao/(^ - «) + ...+ AaDa/(^ -^ a)] ,
la sommation s'étendant aux différents pôles a de F dans un parallélogramme (to, to'); les A sont des constantes et le symbole D^^ désigne une dérivée d'ordre a.
Dans le cas particulier 011 l'on a
M. Mittag-Leffler a montré que cette formule devait être modifiée (*); on a alors, comme élément simple,
et il vient
(6) F{z) = aoe^^^ -h I.[Aof(z- a) -h. . .-i- AaD^fiz- a)];
(') Mittag-Leffler {Comptes rendus, 2G janvier 1880).
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. 4»!
dans cette expression les A ne peuvent pas être des constantes arbitraires : on a la relation
Z(Ao-i- Al /i -+-... -^A^h^)e-f'^ =o.
Ce résultat s'applique en particulier pour h = o, cas où la fonction est doublement périodique de première espèce.
La dérivée logarithmique de H(^) se présente constamment^ on la désigne par t{z).
En posant donc
on aura
T^ étant une constante.
j^. Nous avons dit qu'en général on aurait pour une équation E un système fondamental formé d'intégrales de seconde espèce. Il est intéressant de rechercher dans tous les cas possibles la forme des intégrales.
Prenons une équation E du second ordre; on a, comme nous l'avons vu, deux intégrales
^\{z) et '}2(^) étant des fonctions de seconde espèce. Nous devons nous rendre compte de la nature de l'intégrale yo qu^ P^r hypothèse, est uniforme.
Si les deux multiplicateurs de 60 ne sont pas de la forme e^^, e^^' . on devra, dans la formule (6), avoir tous les Aq égaux à zéro, sinon l'intégration donnerait des logarithmes, et l'on pourra prendre, par suite,
L'intégrale y 2 sera, comme y^ , une fonction de seconde espèce : c'est le cas général.
Supposons maintenant que les multiplicateurs de ôo soient e^" et e^^\ alors -b^ sera de la forme (6), et si nous supposons h ^ o,
l'on aura d'abord les Ao nuls et l'intéeration donne
'^,{^)dz = '^ e/-+ S[A,/(^ - a) -^. . .-- AaDa-i/(^ a)]
avec la relation
Z ( Al + . . . -f- Aa /i^-0 e^'« = o.
L'intégrale JK2 ainsi obtenue sera encore une fonction de secondes espèce.
11 ne nous reste plus qu'à considérer le cas de /i = o ; on a
alors
<];2(^) = «0 -H 2:[Ao^(^ - «) +. . .+ AaDa^(^ a)].
Tous les Ao devront être nuls, pour que l'intégrale soit uniforme, et nous aurons par suite pouryo un polynôme du premier degré, par rapport à ^ et aux Ç(^ — a), avec des coefficients qui seront des fonctions doublement périodiques. Gomme d'ailleurs
la différence
est manifestement une fonction doublement périodique, nous pouvons dire que Vintégrale JK2 se présente sous la forme cV un polynôme du premier degré en z et ^(-s) dont les coefficients sont des fonctions doublement périodiques aux mêmes multiplicateurs.
lo. Considérons maintenant une équation E du troisième ordre ; nous avons les trois intégrales
Ji = ^1 5 72
^i I ^2dz, yz = ^i I ^idzj ^sdz,
^i7 ^21 ^3 étant des fonctions doublement périodiques. Nous connaissons la force analytique des deux premières; nous avons à rechercher la forme de ^-3 supposée uniforme. L'expression
^2 I '\>zdz
est uniforme; si elle est doublement périodique (de première ou de seconde espèce), nous sommes ramené au cas précédent. Dans
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. 4' 3
le cas contraire, celte expression sera, d'après ce qui précède, de la forme
P, Q, R étant doublement périodiques, et l'on peut admettre que ^ = o n'est pas un pôle de Q et B, car, s'il en était autrement, il suffirait de remplacer z par a + -, a étant une constante arbitraire, pour réaliser la circonstance que nous venons de dire. On peut en outre supposer que tout pôle a de l'expression (7) est distinct de zéro. Nous avons donc à chercher la nature de l'intégrale
qui est une fonction uniforme. Soit a un pôle de (7), et désignons par/?, q, r les résidus correspondants de P, Q, R. On devra avoir nécessairement
et comme a -7- w sera aussi un pôle, on aura pareillement
jj ~ q t{a) — r {a -i- to) = 0.
On en conclut /• = o, et prenant ensuite le pôle a + to', on aura
donc /? = o, q ^= o. Les résidus des fonctions Q et R sont donc nuls pour tous leurs pôles, et l'on peut, par suite, écrire
Q, et R, étant uniformes. L'intégrale cherchée devient donc
elle est ramenée, en intégrant par parties, à
J[P-Qir(^)-Ri]^--- Si Q et R sont des fonctions de seconde espèce, nous pourrons
4l4 CHAPITRE XV.
prendre pour Ç)^ et R< des fonctions également de seconde espèce, et nous aurons par conséquent une intégrale du tjpe déjà étudié : y 3 est encore un polynôme du premier degré en ^ et t^(;3) à coefficients doublement périodiques.
Si P;, Q et R sont des fonctions de première espèce, Qi et R, sont de la forme
a et b étant des constantes et o (z) une fonction doublement périodique de première espèce. Notre intégrale prend alors la forme
A, B, C, D étant des constantes, et y(^) une fonction de première espèce. L'intégration par parties nous donne des termes en
et il reste une intésfrale de la forme
[it:{z)^^iz)]dz,
X étant une constante et <J^(^) une fonction de première espèce, intégrale qui se réduit elle-même à un polynôme en 5 et Ç(:3).
En résumé, V intégrale y^ se mettra sous la forme d'un polynôme du second degré en
z et ^(^)
dont les coefficients sont des fonctions doublement périodiques de z aux mêmes multiplicateurs ,
Le théorème que nous venons de démontrer pour m^=^i et m z= 3 est général, et il a été démontré pour la première fois par M. G. Floquet dans toute sa généralité (*); on peut l'énoncer ainsi :
Dans tous les cas, Vintégrale générale d^une équation E,
C) G. Floqukt {Comptes rendus, t. XCVIII, p. 82). On pourra aussi consulter à ce sujet le Tome II du Traité des Fonctions elliptiques cI'Halpiien (page 542).
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. ^I^
cV ordre m^ pourra se mettre sous la forme d\in polynôme en z et 'Ç{z) de degré m — i, les coefficients de ce polynôme étant des fonctions doublement périodiques aux mêmes multiplicateurs. On peut l'établir en procédant de proche en proche, comme nous l'avons fait pour m = 2 et pour /?i = 3 ; mais nous ne nous y arrêterons pas.
16. Gomme exemple d'équation E, nous devons reprendre l'équation, déjà citée, de Lamé sous la forme que lui donne
M. Hermite,
-r4 — [n{n-^ i)/:2sn2^ — /i]j = o.
(tz~
On voit aisément que l'intégrale générale de cette équation est uniforme. Les périodes sont ici 2K et ii¥J^ et il n'j a pour le coefficient dey que le seul pôle ilsJ dans le parallélogramme des périodes. Les racines de l'équation fondamentale déterminante relative au point i¥J sont
— n et n -~ i.
D'après les théorèmes généraux de M. Fuchs, il j aura une intégrale correspondant à la plus grande racine, c'est-à-dire de
la forme
y, = {z-iK')n^^^{z),
'^j{z) étant holomorphe, différent de zéro pour z = /K' et ne renfermant que des termes d'ordre pair. Pour la seconde intégrale y^^ il pourrait y avoir un logarithme, puisque la différence des racines de l'équation fondamentale est un nombre entier; mais il est aisé de voir qu'il n'y en a pas. On a, en effet, l'équation n'ayant pas
de terme en -,-> dz
d'où l'on conclut
d- Yi d' yc,
rcdz
G étant constante. Puisque j^J ne renferme que des termes d'ordre pair, l'intégration ne pourra donner aucun logarithme. L'intégrale générale de l'équation de Lamé est donc uniforme.
rtJNIVERSITYj
4l6 CHAPITRE XV.
Indiquons, sans approfondir ce sujet qui nous mènerait trop loin, ]a marche à suivre pour trouver l'intégrale. Nous savons que l'on peut donner à l'intégrale la forme
Aof(z - iK') -r-. . .+ A„i D«-i/(^ - iK') en posant
Ù et 1 étant deux constantes, pour le moment arbitraires. En substituant cette expression dans le premier membre de l'équation différentielle, on aura, en posant ^ = jR'-j-£ et développant suivant les puissances croissantes de s, les termes à exposants négatifs en
Le premier terme disparaîtra de lui-même, puisque c'est en l'annulant qu'on a obtenu l'équation fondamentale déterminante. Il restera donc n -4- i relations homogènes et linéaires en A, dont les coefficients dépendront de A et de Q. On est donc conduit à deux équations en X et 11; et ceux-ci ayant été choisis, on aura les rapports des A. Nous avons écrit que le premier membre de l'équation différentielle, après la substitution, est une fonction doublement périodique de seconde espèce, qui n'a pas de pôle; il se réduit donc nécessairement à zéro et l'on a alors une intégrale. On démontre ainsi, pour l'équation de Lamé, l'existence d'une intégrale fonction doublement périodique de seconde espèce, et l'on a en même temps une indication des calculs à faire pour la recherche effective de cette intégrale. Soit F(^) l'intégrale précédente; F( — ^) sera aussi une intégrale, puisque l'équation ne change pas quand on change ;: en — z ] si A est arbitraire, cette seconde intégrale sera distincte de la première, et l'on a alors les deux intégrales fonctions doublement périodiques de seconde espèce
F(^) et F(-^),
(pii donneront l'intégrale générale de l'équation de Lamé. Soit, par exemple, /i = i, c'est-à-dire l'équation
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. 4 '7
En effecLuanl les calculs qui viennent d'élre indiqués, M. Hermite trouve
Ù étant donnée par l'équation
S(z-) désigne une des fonctions introduites par Jacobi en même temps qne il{z) dans la théorie des fonctions elliptiques.
Je citerai encore l'équation de troisième ordre, que j'ai indiquée (Comptes rendus^ 1880) comme premier exemple d'une équation d'ordre supérieur au second intégrée au moven des fonctions elliptiques
h et hi désignant deux constantes quelconques, dont on démontrera aisément que son intégrale générale est uniforme. On trouvera dans les Applications des fonctions elliptiques, de M. Hermite (§ XXXVIII), d'autres exemples, dus à M. Mittag- Leffler, d'équations d'ordre supérieur au second rentrant dans la classe qui nous occupe.
17. Je terminerai ce Chapitre, en considérant avec Halphen une classe d'équations à coefficients doublement périodiques, ne rentrant pas immédiatement dans la classe que nous venons d'étudier, mais pouvant cependant s'y ramener au moyen d'un changement de fonctions (M.
Supposons que nous ayons une équation à coefficients doublement périodiques
dm y dfn-'^y
dont l'intégrale générale ne soit pas uniforme, mais pour la-
(') G. -H. Halphen, Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables (Tonie XXVIII ûcs Mémoires des Savants Étrangers ) .
4l8 CHAPITRE XV.
quelle le rapport de deux intégrales quelconques soit uniforme.
Si a^ est un point singulier, les racines de l'équation fondamentale déterminante devront être
vi, vi + ci, ViH-e'i, ...,
les e étant des entiers positifs et, de plus, aucun développement ne contiendra de logarithmes.
La somme des racines de Téquation fondamentale déterminante
relative à a<, c'est-à-dire
mvi + Se
sera égale à
a< désignant le résidu de p pour le pôle a^. Donc, si les points singuliers sont a,, «o, ..., ax, dans un parallélogramme, le produit
sera un nombre entier, puisque la somme des résidus de p pour les pôles <7<, . . ., ax est nulle.
Si nous rendons le parallélogramme m fois plus grand, nous aurons des points singuliers m fois plus nombreux, et alors la somme des v, qui leur correspondent, sera un entier. Plaçonsnous donc dans cette hypothèse toujours réalisable, et, conservant les mêmes notations que précédemment, nous aurons cette fois
2v = entier = k.
INoiis poserons maintenant
L'équation transformée en Y sera à coefficients doublement périodiques, s\j~~- est doublement périodique. Or, on peut prendre
on aura
CLASSES d'équations LINÉAIRES INTÉGRABLES. ^ig
qui sera doublement périodique, puisque Sv — A' = o. D'autre part, Y deviendra uniforme; on sera donc ramené, pour l'équation en Y, à une équation à coefficients doublement périodiques et à intégrale générale uniforme. On ne doit pas oublier seulement qu'en général on doit considérer, pour cette équation transformée, le parallélogramme des périodes comme formé de m parallélogrammes de Péquation primitive.
I. — Sur les groupes de substitutions et les fonctions rationnelles de n lettres.
1. Nous nous proposons d'étudier, dans le Chapitre suivant, les analogies entre les équations algébriques et les équations différentielles linéaires. Il est donc indispensable que nous reprenions les théories algébriques, qui sont les analogues de celles que nous développerons ensuite pour les équations linéaires; c'est ce que je vais faire le plus succinctement possible (').
Désignons par
(') La bibliographie sur la théorie des substitutions et des équations algébriques serait bien longue à établir. Je me contenterai de citer quelques Traités généraux sur ce sujet; ce sont tout d'abord le Traité des Substitutions et équations algébriques (Paris, 1870) de M. Camille Jordan, dans lequel l'éminent Géomètre expose les recherches de ses devanciers et les siennes propres, et le Traité des Substitutions de M. Netto (Leipzig, 1882). Dans ces derniers temps ont paru en France deux Livres sur ces matières. L'un de iMM. Borel et Dracii expose en les développant les leçons de M. Tannery à l'Ecole Normale; il est intitulé Introduction à l'étude de la théorie des nombres et de l'Algèbre supérieure (Paris, Nony, iSgS); les auteurs se sont surtout préoccupés du point de vue philosophique et logique dans leur très intéressante exposition des théories algébriques. Le second Livre, dû à M. H. Vogt, intitulé Leçons sur la résolution algébrique des équations (Paris, Nony, 1895), est rédigé avec beaucoup de soin et se recommande particulièrement à ceux qui veulent étudier ces questions pour la première fois.
n lettres représentant n grandeurs indépendantes. On sait qu'on peut effectuer sur ces lettres des permutations en nombre \.i...n. Ces permutations sont les résultais que l'on obtient en écrivant ces lettres à la suite les unes des autres de toutes les manières possibles.
En posant N = i . 2 . . ./?, désignons par
So, Si, .... l>i
les N permutations dont nous venons de parler. L'opération, par laquelle on passe d'une permutation à une autre, est dite une substitution. On peut représenter une substitution en écrivant entre parenthèses la permutation de laquelle on part et, au-dessus de celle-ci, la permutation nouvelle qui doit la remplacer. Comme l'ordre des éléments qui se correspondent n'intervient pas dans le résultat, on peut supposer que chaque substitution remplace les éléments d'une permutation fixe; par exemple, la permutation So qui représente ^,, x-^^ . , ., x„, par ceux de même rang d'une autre quelconque I/. Nous représenterons ainsi par
la substitution qui a pour etTet de remplacer les lettres de la permutation So par les lettres de la permutation S/. On désigne souvent par de simples lettres S, T, ... les diverses substitutions que l'on a à envisager. Il y a intérêt à considérer, dans l'ensemble des substitutions, la substitution
que l'on appelle la substitution identique ou la substitution unité ; cette substitution indique la conservation de l'ordre des lettres. On a alors N substitutions effectuées sur les n lettres^ nous désignerons ces substitutions par
(i) Si, S2, .... Sx,
la première substitution S, se réduisant à la substitution unité.
On désigne sous le nom de transposition la substitution qui
consiste à permuter seulement entre elles deux des lettres, les
n — 2 autres restant invariables. Toute substitution peut être regardée comme résultant d'une succession de transpositions. On le voit de suite en supposant le théorème vrai pour n — i lettres et l'étendant à n. Soit, en efl'et,
■^1? ^2 5 • • • 1 ^y.-! • • • 1 ^tit
remplacées respectivement par
Nous pouvons d'abord faire sur la première permutation une inversion entre x^ et x^^ ce qui nous donne
et nous n'avons plus à faire ensuite qu'à une substitution relative à /^ — I lettres.
Les substitutions les plus simples sont celles qui remplacent, dans une permutation, chaque élément par celui qui le suit, et le dernier parle premier; on appelle circulaire une telle substitution. Toute substitution de n éléments est circulaire ou se décompose en substitutions circulaires. Soit, en effet, x^ une lettre quelconque, x^^ celle qui la remplace lorsqu'on effectue la substitution, soit de même x^ la lettre qui remplace x^\ et ainsi de suite jusqu'à une lettre x\ qui sera remplacée par ^i . Nous aurons ainsi, dans la substitution, un premier cycle; une lettre non rencontrée donnera naissance à un autre cycle et ainsi de suite, de sorte que la substitution est bien décomposée en un certain nombre de cycles ou substitutions circulaires.
2. Si l'on effectue sur les x d'abord la substitution S et ensuite la substitution T, on aura une substitution résultante, qu'on appelle \q produit des deux substitutions S et T; nous la désignerons par
