TS
en indiquant par là qu'o^ fait d^ abord la substitution S et ensuite la substitution T (*).
(>) On fait souvent l'hypothèse inverse; nous-même l'avons faite dans un Chapitre précédent. Nous conserverons jusqu'à la fin de ce Volume la convention faite dans le texte.
Il ne faut pas confondre les deux substitutions
TS et ST,
qui sont, en général, distinctes. Quand elles sont identiques, on dit que les substitutions S et T sont échangeables.
On appelle substitution inverse d'une substitution S, et l'on désigne par S~' la substitution représentant l'opération inverse; on a
ss-i = s-is = I.
Dans le cas où les deux substitutions S et T sont échangeables, on a, comme nous venons de le dire,
TS = ST; on en déduit
TSS-i = STS-i et, par suite,
T = STS-i.
3. Considérons maintenant une fonction rationnelle de n variables indépendantes
Quand on effectue sur
Xx, a".2 , • . . • x,i
toutes les substitutions (i), il peut arriver que la fonction ne change pas. On sait que la fonction cp est dite alors une fonction symétrique de ^,, X21 .,.., Xn et peut s'exprimer en fonction rationnelle des fonctions symétriques élémentaires
D'autre part, si la fonction 'o est arbitraire, on obtiendra N fonctions distinctes, quand on effectuera toutes les permutations possibles sur les x, c'est-à-dire les substitutions (i).
Mais il peut j avoir des intermédiaires entre les deux cas extrêmes dont nous venons de parler ; ainsi pour n^= ^ la fonction
ne prend que trois valeurs pour les vingt-quatre substitutions P. — III. 29
effectuées sur ^<, œ^, ^3, ^i- Ces trois valeurs sont visiblement cp lui-même et les deux expressions
Considérons donc l'ensemble de toutes les substitutions qui laisseraient invariable une certaine fonction cp(^,, x-,, . . ., ^/?), et désignons-les par (G) Si = I, S2, . . ., S;, ;
la substitution unité étant évidemment comprise parmi elles. Les substitutions précédentes forment un groupe, c'est-à-dire que les inverses et les produits de deux substitutions quelconques de la suite (G) appartiennent eux-mêmes à cette suite. Il en résulte qu'en combinant d'une manière quelconque, par multiplication, les substitutions de (G), on aura toujours des substitutions de la même suite. On appelle degré d'un groupe (G) de substitutions le nombre des lettres figurant dans ces substitutions. Uordre d'un groupe est le nombre /• des substitutions de ce groupe.
En particulier, à une fonction symétrique correspond le groupe général des i .2. . ./i substitutions relatives à n lettres. Nous appellerons ce groupe le groupe symétrique.
4. Une fonction rationnelle cp nous a conduit à la notion capitale de groupe de substitutions. On peut inversement concevoir a priori la notion de groupe de substitutions, c'est-à-dire d'un ensemble de substitutions telles que leurs inverses et le produit d'un nombre quelconque d'entre elles donnent une substitution de cet ensemble. On peut établir que, pour un tel groupe, il y aura toujours des fonctions rationnelles que laisseront invariables les substitutions du groupe, tandis que toute autre substitution modifierait ces fonctions. Considérons, en effet,
l'expression
(f = «0 -I- ai a^i -H a2 372 -I- . . . -t- «/, a7„ ,
lésa étant des constantes distinctes. Il est clair que cette fonction a 1,2..., n valeurs quand on effectue sur les x toutes les permutations possibles. Soit d'autre part G un groupe de substitutions d'ordre r\ débignons par
les /' valeurs que prend la fonction o pour les substitutions de ce groupe (cp, = cp), et formons le produit
<l> = ç, cp, . . . Op.
C'est une fonction rationnelle de x^j^o, . . .^ Xn que laissent invariable les substitutions du groupe, puisque ces substitutions permutent seulement les différents facteurs.
D'autre part, toute permutation S, qui ne fait pas partie du groupe G, ne laisse pas invariable la fonction <ï>. En effet, en effectuant sur cp une telle permutation, on obtient une expression ^\ différente de cpo, . . . , cp^, puisque les i . 2 . . . ;i permutalions donnent des résultats distincts. Si <I> restait invariable pour la substitution S, cp', ne pourrait différer de cp2, . . . , cpr que par un facteur constant. Mais si l'on avait
on aurait nécessairement A" = i , puisque ao n'est pas nul, et, par suite, cp', serait égal à cp^, ce que nous venons de dire être impossible.
5. Supposons qu'une fonction o prenne 0 valeurs quand on effectue sur les x toutes les permutations possibles, et soient c5,, Oo , . . . , cpp ces p fonctions. Toute fonction symétrique <ï> de cp,, cpo, . . . , cpp restera invariable quand on effectuera sur les x une permutation quelconque, puisqu'une telle permutation ne peut que changer l'ordre de ces fonctions.
La fonction ^ s'exprimera donc à l'aide des fonctions symétriques élémentaires. Il en résulte que cp,, cpo, ..., csg peuvent être regardés comme les racines d'une équation de degré p, dont les coefficients sont des fonctions symétricjues des variables; nous désignerons cette équation par
F(cp) = o.
6. Etant donné un groupe G, il existe une infinité de fonctions rationnelles dej:,, ^o? • • •> ^n^ que laissent invariables les substitutions de ce groupe. Nous allons démontrer, relativement à ces fonctions, un théorème d'une grande importance. Je dis que :
Deux fonctions appartenant au même groupe s'expriment rationnellement V une par Vautre.
Soit r Tordre du groupe G, dont nous représentons les substitutions par
(2) Si=i, S2, ..., S,..
Soit d'abord cpi une des fonctions correspondant à ce groupe : si a- désigne une substitution n'appartenant pas à G, la fonction cp, se changera en une autre fonction ^2 (]uand on effectuera la substitution a-. Toutes les substitutions
(3) a, aS„ ..., aS,
transformeront cp< en cp2) et ce seront les seules, car si S' désigne une telle substitution, la substitution
transformera cp, en elle-même; on aura donc
a-iS'=S, (t<r);
ce qui revient bien à
comme nous voulions le faire voir. Cherchons le groupe appartenant à la fonction o^- Si S" est une substitution de ce groupe, la substitution a-"' S" a- transformera cp, en elle-même. Donc
d'où l'on déduit que le groupe cherché est formé des substitutions
aS/J-i (f = 1,2, ..., /•).
On désigne ce groupe sous le nom de transformé du groupe G par la substitution a-. Si les substitutions (2) et (3) ne donnent pas Tensemble du groupe des permutations de n lettres, c'està-dire si
il y aura une substitution cr' n'appartenant pas à (2) et (3). Cette substitution transforme cp, en cpj, et le groupe de cpg est
le transformé de G par t', de même que le groupe de Ço était le transformé de G par ï. En continuant ainsi, on voit que, si la fonction '>p prend p valeurs pour l'ensemble des substitutions, on partagera cet ensemble en p groupes de /* substitutions, tels que (2), (3), ... ; on a évidemment
Cela posé, soit '|, une seconde fonction correspondant au groupe G et désignons par
les p valeurs de 6 correspondant respectivement aux substitutions (2), (3), .... Considérons les expressions
<pi l^^l -h Ç>2'|2 -•-• ••H-?p'|'pJ • • 7
Ces expressions sont évidemment symétriques en .r, , ^o» • • •? «^^w? puisque toute permutation effectuée sur les x ne peut que changer 'Zi en '^yi- et ^/ en 6^. Elles s'exprimeront donc à l'aide des fonctions symétriques élémentaires; posons donc
oP-^i^oP-^.-^..
..-i-cpP-'tlp^P
Nous pouvons tirer de ces équations du premier degré les valeurs de 'i^,, •^:., ..., '\r^. Considérons en particulier <i;, ; son expression sera symétrique par rapport à cpo, . . ., 'fp; or, ces dernières quantités sont racines de l'équation
comme il résulte du § o. Cette équation a ses coefficients rationnels en cp, et symétriques par rapport aux x. Il résulte immédia-
tement de là que 'i>i s^ exprime rationnellement à Vaide de cp,, comme nous voulions l'établir. 11 est bien entendu que dans cette expression rationnelle figurent comme coefficients de o< des fonctions symétriques des x,
La démonstration précédente permet d'établir un théorème plus général que celui que nous venons d'énoncer. Les deux fonctions 'h et cp n'ont pas besoin d'appartenir au même groupe. Supposons seulement que '^ reste invariable pour toutes les substitutions du groupe auquel appartient cp. Il arrivera alors que les fonctions désignées par
ne seront pas toutes distinctes, car il j aura d'autres permutations que celles du groupe G n'altérant pas la fonction ^h^. Mais cela importe peu pour la démonstration, et nous avons le théorème général suivant, dû à Lagrange :
Si deux fonctions rationnelles de plusieurs variables 'h et o sont telles que l'une ^ reste invariable pour toutes les substitutions du groupe auquel appartient cp, la fonction 'h s'exprime rationnellement au moyen de la seconde et des fonctions symétriques élémentaires,
7. Un exemple intéressant de fonctions, ayant plusieurs valeurs pour l'ensemble des permutations, nous est fourni par les fonctions entières ayant deux valeurs. Supposons qu'une telle fonction cp existe et désignons par
cpi et cpo
ses deux valeurs. Toute substitution S du groupe qui change cp, en elle-même changera aussi o^ en elle-même, car autrement S~' changerait cp< en cpo, tandis que manifestement S~^ change, comme S, cpi en elle-même. H y a donc deux genres de substitutions, les unes changeant cp, en cpo et cp2 en cp, , les autres changeant cp, et cpo en elles-mêmes. Envisageons la fonction
ce sera une fonction ayant deux valeurs égales et de signes contraires. On appelle alternée une fonction jouissant de cette
propriété de n'avoir, pour l'ensemble des permutations, que deux valeurs ésfales et de siennes contraires. Le carré d'une fonction alternée est une fonction symétrique.
Toute substitution pouvant être obtenue en faisant une succession d'inversions entre deux lettres, il est clair qu'il j aura au moins une inversion changeant le si^ne d'une fonction alternée F. Si cette inversion est entre ^^ et ^p, la fonction F s'annulera nécessairement pour ^a = xq, et sera, par suite, divisible par .r^ — x^. Ainsi F^ est divisible par (xa — x<^)- et, comme il est symétrique, il sera divisible par tous les binômes analogues. Donc F est divisible par la fonction u formée de facteurs linéaires
u = (Xi — X.2){.ri — X3) .. . {Xi — X„)j {T.2—T3) ... (Xo—Xn),
On voit d'ailleurs, de suite, que cette fonction u n'a que deux valeurs égales et de signes contraires. La fonction alternée F sera divisible par une puissance 7?i de u, qui sera impaire, car autrement le quotient
JL
serait encore alterné el, par suite, divisible par w; m ne serait pas alors la plus haute puissance de «, qui divise F. Nous pouvons donc écrire
F = S.zf, S étant symétrique.
Si nous revenons alors à la fonction 'j, on peut écrire
çi — cp, = iV]^u,
* 'fl H- ^2 = ^^-2,
Pi et Po étant symétriques; donc toute fonction à deux valeurs est de la forme
Toutes ces fonctions se ramènent donc à u^ c'est-à-dire à la racine carrée du discriminant des n lettres ^<, ^25 • • -5 ocn- H est clair, d'ailleurs, que la fonction u n'a que deux valeurs, puisque
loiite substitution ne peut que permuter l'ordre des facteurs linéaires et changer leurs signes.
Le groupe de substitutions laissant invariable la fonction u s'appelle le groupe alterné. Soient x^
les substitutions de ce groupe. Pour toutes ces substitutions, la fonction u prend une même valeur u^.
Raisonnons comme au § 6 : il y a, dans le groupe général des i .1, . . n substitutions, une substitution c qui n'appartient pas au groupe alterné, sans quoi u serait symétrique. Nous avons alors une seconde ligne
a, aS,, ..., a S,.
de substitutions transformant u^ en une autre fonction u^, et, comme u n'a que deux valeurs, les ir substitutions précédentes donnent toutes les substitutions du groupe symétrique. Donc
et, par suite, le groupe alterné est d^ ordre ' — On voit bien facilement qu'il est formé des substitutions du groupe symétrique se ramenant à un nombre pair de transpositions. Un second exemple nous sera fourni par la fonction
