II. — De la réductibilité des fonctions entières

8. La notion de réductibilité des fonctions entières joue un rôle capital dans la théorie des équations algébriques. Nous devons nous y arrêter un moment.

Définissons d'abord avec précision, comme le faisait Kronecker(^), ce qu'on doit entendre par domaine de rationalité. Étant donnés des paramètres R,, Ro, R3, . . ., que Ton suppose indéterminés et indépendants les uns des autres, nous appellerons domaine de rationalité l'ensemble des fonctions rationnelles de ces paramètres, les coefficients figurant dans ces fonctions rationnelles étant des nombres entiers. Le domaine le plus simple est formé par les nombres rationnels; il ne comprend aucun paramètre.

Le premier problème qui se présente est de reconnaître si une équation à coefficients entiers

admet une racine commensurable ; c'est là une question classique sur laquelle je n'ai pas à insister ici. Prenons maintenant une équation

(2) /(^,Ri,R2, R3, ...) = o,

dans laquelle les coefficients des puissances de x sont des fonctions rationnelles des R à coefficients eux-mêmes commensurables, et cherchons si cette équation en x peut être vérifiée par une fonction appartenant au domaine de rationalité. Ecrivons l'équation sous la forme

«o(Ri, R2, • . .)^'"4-«i(Ri,R2, ...)x'n-i -^.. . = o,

les a étant des polynômes en R à coefficients entiers. En posant

«o(Ri, R2, ...)oc=y,

(') Kronecker, GrundzLige einer arithm. Théorie der algebraischen Grossen {Festchri/t zum Kummer's Jubilœum, 1882).

tlNIVERSITT CALIFORNIE-

432 cnAPiTRi: XVI.

nous aurons une équation en y de même forme, mais où le premier coefficient sera l'unité.

S'il existe une racine x rationnelle par rapport aux R, l'équation en y aura une racine entière, et nous sommes donc ramené à la recherche d'une racine de l'équation

jK'« H- ^>i(Ri, R,, ...)j'«-i -+-... =0

qui soit une fonction entière de R, , Ro, . . . , formé avec des nombres rationnels. On trouve immédiatement une limite supérieure du degré possible de y par rapport à chacun des paramètres R,, Ro, ..., comme le montre, par exemple, la théorie des asymptotes. On fera donc la substitution à y dans l'équation d'un polynôme en R,, R2, . . . d'un degré déterminé, les coefficients A de ce polynôme étant indéterminés. En égalant à zéro tous les termes du résultat de la substitution, on aura un certain nombre de relations algébriques entre les coefficients A. Il ne s'agira plus que de voir si l'on peut y satisfaire par des nombres commensurables.

On aura d'abord à voir si les équations sont compatibles algébriquement; s'il en est ainsi, la résolution de ces équations se ramène, par des calculs où n'entre aucune irrationalité, à la résolution d'une équation unique à coefficients rationnels, et nous sommes ainsi conduit de nouveau au premier problème.

Supposons enfin que nous voulions reconnaître si l'équation (2) admet un diviseur rationnel de degré k. Je désigne par

les m racines de l'équation, et je forme l'expression (3) y—piti—p2t-2—'--—pkfk,

en désignant par /?,, /?2, . . . , /?a les fonctions symétriques élémentaires relatives à ^^,1 ^a,? • • • ? •^"ar Nous représentons par ai, a2, . . ., y./f k nombres distincts de la suite des m premiers nombres, et les t sont des paramètres arbitraires. En prenant pour les a toutes les combinaisons possibles des m premiers nombres k k k^ et formant le produit des expressions (3), nous aurons

n(7 —P^ h —Ptt^ -. ..—pkti,) = F(y, i,. ..., tA; Ri, «2. . .),

et nous avons à rechercher si l'équation

admet pour y une racine rationnelle en ^ et R et à coefficients comniensurables.

Une telle racine, que nous savons trouver d'après ce qui précède, devra être nécessairement de la forme

P\ti -\-pit.2-\-...-^phtkj

et, si elle est rationnelle, c'est que les fonctions symétriques p àe Xy ^ Xr^ , . . . , Xfx^ appartiennent au domaine de rationalité (R,,R2, ...)• L! équation est dite alors réductihle , et nous pouvons obtenir les différentes équations en lesquelles elle se décompose.

Une équation qui n'est pas réductible dans un domaine donné de rationalité est dite irréductible dans ce domaine.

9. Démontrons de suite une proposition fort simple, mais de grande importance, sur les équations irréductibles. Je suppose que, dans un certain domaine de rationalité, une équation algébrique ait une racine commune avec une équation irréductible : je vais montrer qu'e//e admettra toutes les racines de cette seconde

équation. Soit donc

F(^,Ri,Ro,...) = o

la première équation, et représentons par

/(^,Ri,Ro, ...) = o,

l'équation irréductible qui a par hypothèse une racine commune avec F. Nous pouvons former le plus grand commun diviseur 8(^, R,, Ro, . . .) entre F et/; ses coefficients appartiendront au même domaine de rationalité. Il faut nécessairement que 0 et / coïncident, car autrement/ ne serait pas irréductible; il est évident alors que toutes les racines de /appartiennent à F.

10. Nous allons généraliser le point de vue auquel nous venons de nous placer pour définir l'irréductibilité d'une équation, mais auparavant établissons une proposition qui nous sera

plus tard très utile. Etant donné un domaine de rationalité, considérons une équation de degré ?i

dont nous désignerons les racines supposées inégales par

X\ , X^^ ' ' ' 1 ^ Il 5

et soit

une fonction rationnelle telle que les i . 2 . . . /i valeurs numériques qu'elle prend, quand on permute les racines de toutes les manières possibles, soient toutes différentes, nous allons démontrer que les x^, X2, ..., Xn s'expriment en fonctions rationnelles de Y (^). Ce théorème joue un grand rôle dans la théorie de Galois, comme nous le verrons bientôt, et nous allons rapporter la démonstration qu'en donne l'illustre géomètre. Mais nous pouvons observer auparavant que le théorème est en quelque sorte évident, car V satisfait à une équation d'ordre i . 9. . . . n dont les racines sont distinctes, et à chaque valeur de V ne correspond qu'une seule valeur de ^i , Xo^ . . • , x,i^ puisque pour deux permutations différentes des .r on a deux valeurs différentes de V.

Ne nous contentons pas cependant de cette vue rapide , et cherchons comment on pourra trouver effectivement les expressions rationnelles des racines en fonction de V. Désignons par V| la valeur de V pour une certaine permutation, soit Xt, X2, . . ., Xfi. Laissons x^ fixe et permutons de toutes les manières possibles Xo^ ^3) ' . .', x,i^ nous aurons ainsi les jji = i . 2 . . . (/i — i) valeurs distinctes de V

Vi, V2, ..., \v.

Les coefficients de l'équation donnant ces valeurs de V seront symétriques par rapport aux racines de l'équation

(') Cette proposition se trouve au commencement du Mémoire célèbre de Galois, dont nous allons bientôt nous occuper. Elle est citée sans démonstration par Abel dans le Mémoire posthume Sur les Fonctions elliptiques.

et seront par suite rationnels en x,. Désignons cette équation par

(4) F(V, xO = o,

Fêtant un polynôme en V et X|. Il en résulte que l'équation en X

(5) F(Vi,^) = o

admet certainement ^, pour racine. L'équation (5) en x et l'équation

ont donc une racine commune Xi. Elles ne peuvent en avoir qu'une, car si X2 était racine de (5), on aurait

Or l'équation

admet pour racines les valeurs de V obtenues en transposant ^, et Xo dans les permutations qui correspondaient aux. racines de l'équation (4) ; cette dernière équation et l'équation (6) n'ont donc pas de racines communes, puisque toutes les valeurs de V sont distinctes. Ainsi l'équation (5) et l'équation

n'ont qu'une racine commune, et nous aurons pour cette racine commune x^ une fonction rationnelle de V, . On aura de même d'autres fonctions rationnelles de V, pour les autres racines X2, x-iy ..., Xn^ et le théorème est par suite démontré, en même temps qu'on a une marche à suivre pour trouver explicitement ces fractions rationnelles.

Deux corollaires du théorème précédent joueront dans la Seclion suivante un rôle capital.

Soit

l'équation donnant les i .2. ..n valeurs de V. Nous venons de voir que x^, X21 . . ., Xn sont fonctions rationnelles de V|. Gomme, d'autre part, une autre quelconque des valeurs de V est ration-

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nelle en Xi^ x^, • • • , ^nj elle sera aussi rationnelle en V, . Donc, toutes les racines de V équation W sont fonctions rationnelles de V une quelconque d^ entre elles.

En second lieu, supposons que l'équation ^ soit réductible, et prenons l'un de ses facteurs irréductibles

dont nous désignerons les racines par

Vi, Vs, ..., Vv.

Nous avons trouvé plus haut, pour les racines de Féquation

les R étant rationnels. Il est facile de voir qu'elles pourront être représentées aussi, quoique dans un ordre différent, par

(7) Ri(V/0, R2(V/0, ..., R«(V/,),

V/i étant une quelconque des racines Vi, Vo, ..., Vv En effet, l'équation /admet par hypothèse la racine R, (V< ) ; l'équation

/[Ri(V)] = o

est donc satisfaite pour V = Vi ; il s'ensuit qu'elle doit être satisfaite pour V2, . . . , Vv (§ 9). Les termes de la suite (7) sont donc des racines; il reste à prouver qu'ils sont distincts. En effet, si l'on avait par exemple

Ri(V/,,)-R-2(V/,) = o (/^F^O,

l'équation

Ri(V) — R2(V) = o

étant vérifiée pour Y == Va serait vérifiée pour V = Vj, ce qui n'est pas.

11. Indiquons encore une conséquence de la proposition précédente : Étant données un nombre quelconque d^ irrationnelles algébriques, on peut toujours les exprimer toutes en fonction d'une même irrationnelle. Soient, par exemple, deux

équations algébriques de degré tjt. et v

on pourra exprimer y et z en fonctions rationnelles d'une même racine d'une troisième équation algébrique dont les coefficients appartiennent au même domaine de rationalité. En effet, les racines

yi, 72, •••» yii'. ^u -2, ..., -V

sont racines d'une même équation algébrique

et, comme rien ne supposait plus haut c[iief(x) était irréductible, nous pouvons appliquer le théorème précédent, et exprimer ainsi les y et ^ en fonction rationnelle d'une irrationnelle auxiliaire V.

12. Nous pouvons maintenant généraliser le point de vue auquel nous nous étions d'abord placé pour définir Firréductibilité d'une équation. Nous avons jusqu'ici considéré le domaine de rationalité (Ri, Ro, ...). Nous pouvons adjoindre à ce domaine des fonctions algébriques de R,, Ro, ..., c'est-à-dire des racines d'équations algébriques

o{u, Ri, R,, ...) = o, ^(^, Ri, n., ...) = o, ....

Cela posé, une équation en x

f{x, u. V, ..., Ri, Ro, ...) = o,

dont les coefficients sont des fonctions rationnelles à coefficients entiers de u, t', . . . , R, , Ro, . . . , sera réductible, si elle a une racine commune avec une équation de même forme et de degré moindre. D'après le paragraphe précédent, on peut supposer que l'on adjoint une seule fonction algébrique. Nous aurions donc l'équation

que l'on peut supposer irréductible au sens des paragraphes précédents, et l'équation

f{T, U, Ri, R,, ...) z= o,

qui peut d'ailleurs ne pas renfermer a. Il sera facile de reconnaître si cette équation est réductible au sens généralisé que nous adoptons maintenant. En procédant comme au § 8, il suffit de reconnaître si l'équation admet une racine fonction rationnelle de 11^ R, , Ro, ... à coefficients entiers. Or, si m est le degré de cp par rapport à w, une telle racine sera de la forme

37 = Ao-H Al ?i -h. . .-4- A^„-i u"i-'^,

les A étant des fonctions rationnelles des R à coefficients commensurables. En substituant cette expression dans l'équation /, nous aurons une relation de la forme

^{u, Ao, ..., A,,,i, Ri, R,, '•') = o.

On ramènera toutes les puissances de u dans '^ a être au plus de degré m — i en se servant de l'équation (p, et l'on devra alors avoir une identité, ce qui donnera m équations pour déterminer les A. On est ainsi ramené au problème, déjà étudié, de reconnaître si des équations peuvent être vérifiées par des fonctions rationnelles à coefficients entiers de certains paramètres qui y figurent.

Gomme exemple d'une équation devenue réductible par l'adjonction d'une irrationnelle, il suffira de prendre l'équation

Elle est irréductible quand le domaine de rationalité est l'ensemble des nombres entiers. Elle devient au contraire réductible quand on adjoint l'irrationnelle u définie par

puisque l'équation peut s'écrire

d'oi!i il résulte que x'* — 2x'- — 3 admet le facteur x — u.