III. — Théorème fondamental de Galois; groupe d'une équation

algébrique ( ' ).

13. Arrivons maintenant aux principes si féconds introduits par Galois dans la théorie des équations algébriques. Nous commencerons par la notion fondamentale du groupe d'une équation algébrique. Nous partons d'une équation de degré n

fU) = o,

dont les coefficients appartiennent à un certain domaine de rationalité, et dont les racines sont inégales. Soit, comme plus haut, au § 10,

V = o(.r,, X.2, . . ., Xa)

une fonction rationnelle des racines, dont les i.2.../i valeurs sont différentes quand on permute les racines de toutes les manières possibles. On pourra^ par exemple, prendre, comme l'indique Galois,

V= aiXi-\- a-ix^-r- . . .-T- a,iX,i-,

les a étant des grandeurs arbitraires appartenant au domaine de rationalité. Désignons, comme plus haut (§ 10), par '}(V) un facteur irréductible de degré v de l'équation donnant les i . 2 . . . /i valeurs de V et soient toujours V, , Va, . . . , Vv les racines de ^. D'après ce que nous avons dit, les racines peuvent être représentées

(») Les Œuvres mathématiques d'Evariste Galois ont été publiées dans le Journal de Mathématiques (i" série, tome XI, 1846). La lettre écrite à Auguste Chevalier par Galois, la veille même de sa mort (29 mai iSSa), a été aussi insérée dans ce Volume. Le numéro de septembre i832 de la Revue encyclopédique contient une Notice nécrologique sur Évariste Galois, où l'on trouvera les renseignements les plus intéressants sur la destinée tragique de ce géomètre, d'un incomparable génie, mort à vingt ans.

Galois est surtout connu pour ses célèbres travaux sur les équations algébriques. Il avait fait en Analyse des découvertes au moins aussi éclatantes. Comme on le voit dans sa lettre à Auguste Chevalier, il avait approfondi l'étude des intégrales de différentielles algébriques, les avait classées, comme on l'a fait depuis, en trois espèces et avait trouvé le nombre de leurs périodes.

P. - IlL 3o

par l'une quelconque des lignes horizontales du Tableau suivant :

Ri(Vi), R.2(Vi), ..., R.(VO, Ri(V2), R2(V2), ..., R/,(V.>),

Ri(Vv), Ro(Vv), ..., R^Vv).

Chacune de ces lignes représente une permutation des racines Xi, Xo, .-., Xfi' J'ajoute que toutes ces permutations sont différentes, car, autrement, l'expression «, ^, + «2^2 -h- • • + <^0/-^// devrait être à la fois égale à V, et à Vo- Nous allons montrer qu'à ces pej^mutations correspond un groupe de substitutions. La première ligne se réduit à