X{^ X^, . . . 1 X II

Désignons par

Si = [, 8-2, . , ., Sv

les substitutions correspondant au passage de la première ligne à elle-même et à chacune des suivantes. Nous savons (§ 10) que

9^ étant une fonction rationnelle; le remplacement de \^ par 0^(Vi) donne la substitution S^. La substitution S^ donne donc la permutation

Ri[Oa.(Vi)], R2[0/,(Vi)], ..., R4^U.(V0J. ■

Si nous voulons maintenant effectuer sur cette permutation la substitution Sa, il faudra remplacer Vi parQA(V<); nous aurons donc la permutation

(8) Ri[0/,(0/,)], R2r0/.(0/O], .••, R«[ôa(ôa)];

mais on voit immédiatement que

OA-[0/,(Vt)]

est une racine de ^(V), car cette expression n'est autre chose que Ba(Va). Or, puisqu'on a

4>[e/,(vo] = o,

l'équation

a une racine commune avec ^(V) == o. Elle admet donc toutes les racines de cette dernière équation et en particulier Va- La suite (8) fait donc partie des substitutions de notre Tableau, et celles-ci forment bien un groupe qui est évidemment d'ordre v. Galois appelle ce groupe le groupe de V équation pour le domaine considéré de rationalité. Nous allons maintenant démontrer la double propriété caractéristique de ce groupe, que nous désignerons par G.

14. Le tbéorème fondamental peut s'énoncer de la manière suivante :

Toute fonction rationnelle des racines, invariable par les substitutions du groupe G, appartient au domaine de rationalité, et réciproquement toute fonction rationnelle des racines appartenant au domaine de rationalité reste invariable par les substitutions du groupe.

Il est essentiel de remarquer, avec Galois, qu'on appelle ici fonction invariable non seulement une fonction dont la forme algébrique est invariable par les permutations des racines entre elles, mais encore toute fonction dont la valeur numérique ne varie pas par ces substitutions, alors même que sa forme algébrique aurait varié.

Démontrons d'abord la première partie du théorème. Toute fonction des racines peut se mettre sous la forme

Vêtant une racine de l'équation 'y(\) = o considérée au paragraphe précédent, et, puisque cette fonction a la même valeur numérique pour toutes les substitutions du groupe G, on aura

et, par suite,

F est donc une fonction symétrique de V|, Vo, . . . , Vv; elle appartient donc au domaine de rationalité, comme les coefficients de l'équation à.

Passons à la seconde partie. Soit F une fonction rationnelle des

442 CHAPITRE XYI.

racines dont la valeur numérique appartient au domaine de rationalité j nous pouvons écrire

en supposant que ce soit pour la disposition des racines correspondant à V = Vi que la fonction prenne la valeur Q. Mais, puisque l'équation

a la racine commune Vi avec l'équation ^j;(V) = o, elle admet toutes les racines de cette dernière équation qui est irréductible, et l'on a, par suite,

X(Vi) = X(V2) = .-. = MVv).

La valeur^ numérique de F est donc invariable par les substitutions de G.

15. Une remarque très importante est à faire relativement au groupe d'une équation.

jNoLis avons d'abord formé Féquation

n'ajant que des racines simples et donnant les i .2. . . n valeurs de V, et nous avons considéré ensuite un facteur irréductible '|'( V) de cette équation. On doit nécessairement se demander quelle conséquence entraînerait pour le groupe de l'équation la substitution d'un facteur irréductible à un autre. Soit

iF(V) = d;(V).cp(V).../(V),

les difierents facteurs ^, cp, . . . , /^ étant supposés irréductibles et le facteur 'h d'ordre v étant celui qui nous a conduit au groupe G. Toutes les racines de ^^(V) étant fonctions rationnelles de l'une quelconque d'entre elles, une racine de cp(V) est fonction rationnelle d'une racine de '}(V); en désignant par Vi une racine de 'h^ nous avons pour une des racines de cp

o(vo.

Or, en posant

V/ désignant les diverses racines de 'l, les quantités V- satisfont à une équation d'ordre v, dont les coefficients appartiendront au domaine de rationalité, et qui ajant une racine commune avec a, à savoir 8(Vi), admettra toutes les racines de ce dernier polynôme. Donc le degré de cp est au plus égal à celui de à; mais un raisonnement tout semblable montre que le degré de 'y est au plus égal à celui de cp. Donc tous les polynômes 6, cp, . . . , y sont de même degré, et Ton passe de l'un à l'autre au moyen d'une transformation rationnelle.

Nous avons vu que, si l'on substitue dans les expressions

Ri(V), R,(V), ..., R„(V)

les différentes racines V,, V2, . . . , Vv de l'équation 6, on obtient l'ensemble des permutations correspondant au groupe G, la première permutation étant précisément, si Ton veut,

(S) :ri = Ri(V,), ^2 = R2(Vi), •.., r,, = R«(Vi).

Si l'on considère maintenant les racines

du facteur C3, la suite

RUv;), RUV'i), ..., R'.(V\),

où les R' représentent des fonctions rationnelles, donne encore la suite des racines de l'équation f{x) = o. Or

la suite précédente peut donc s'écrire

(2') R'i[e(Vi)], RU9(Vi)], ..., R'„[e(V0].

En mettant dans la suite (S'), à la place de \ i, les autres racines Vo, ..., Vv, on obtiendra le groupe G' qu'aurait donné le facteur cp. Soit S la substitution par laquelle on passe de (I) à (S'), elle fera passer x/i du rang h au rang k, et l'on aura

R/,(VO - RA-[e(Vi)l, d'où R/,(V,) = R',.[6(V,)].

On en conclut que la même substitution S fait passer d'une ligne de G à la ligne de même rang dans G'; donc, si g et g' désignent

ces deux substitutions correspondantes, on aura

et le groupe G' est, par conséquent, la transformée du groupe G par la substitution S.

Ainsi, si W a /• facteurs irréductibles, nous pourrons former r groupes, qui seront les transformés de l'un d'entre eux par r — i substitutions convenables. En considérant comme équivalents deux groupes transformés l'un de l'autre, on peut dire qu'aune équation ne correspond qu'un groupe.

16. Le groupe d'une équation se réduira, en général, au groupe symétrique, c'est-à-dire à l'ensemble des substitutions correspondant aux 1.2... n permutations de n lettres. Ainsi considérons l'équation générale d'ordre n

x'^+pix'^-i +. . .-^pn = o;

j'entends par là une équation pour laquelle le domaine de rationalité soit défini par les paramètres (/?i, . . . , p,i).

Toute fonction rationnelle des racines cp(^i , ^27 • • • j ^n) restant invariable par les substitutions du groupe de cette équation doit pouvoir s'exprimer rationnellement en fonction de p^^ p2-, . - -, fn-, et l'on a

9(^1,^2, ...,Xa) = R(pi,P2, . ..,/>«) ;

mais on peut considérer ici!/?), p2, ••., Pn comme fonction de Xi, œ2i . . . , X/i qu'on prendra comme variables indépendantes, et alors le second membre étant symétrique en x^J x^-, •• . , ^«, il en est de même du premier.

17. Lorsque le groupe G d'une équation n'est pas le groupe symétrique, cette équation est une équation particulière. Elle est caractérisée par ce fait qu'il existe nécessairement entre les racines au moins une relation rationnelle, cette relation n'ayant pas lieu pour toute substitution faite sur ces racines. On a, en effet, d'après ce qui précède, en désignant toujours par ^(V) le facteur irréductible considéré plus liaut.

La fonction 'i>(a,X| + ^2^2 +• • • ~^ CLn^ii)-, dont la valeur numérique est zéro, reste invariable par les substitutions du groupe G, mais elle variera pour toute autre substitution, puisqu'à celle-ci correspond une valeur de V, qui n'est pas racine de '^(V). La relalion précédente est donc une relation rationnelle entre les racines, et cette relation cesse d'être vérifiée quand on permute les X d'une manière quelconque.

Inversement, s'il existe une relation

entre les racines, relation qui ne soit pas vérifiée pour toute permutation des Xj il est aisé de voir que le groupe de l'équation ne sera pas le groupe symétrique. Si l'on remplace, en effet, les x par leur valeur en fonction de V, l'équation précédente, en tenant compte de l'équation T(V), se réduira à une équation

^i(V) = o, '}, étant au plus du degré

et elle ne se réduira pas à une identité, car autrement la relation cp

se trouverait vérifiée pour toute substitution faite sur les x, ce que nous ne supposons pas. La résolvante de Galois

admet donc un facteur rationnel de degré inférieur à i .2. . . n, et le groupe de l'équation n'est pas le groupe symétrique.

18. Terminons cette Section par quelques remarques relatives aux fonctions rationnelles des racines d'une équation. Soit une fonction rationnelle des racines

Supposons qu'elle garde la même valeur numérique quand on fait sur les X une substitution

\ Xy Xo ... X,i j

ceci veut dire que l'on aura l'égalité numérique

cp(a;i,a72, ...,a7„) = o{x^,x9,, ...,xi),

égalité qui ne subsisterait pas nécessairement si les x étaient des variables indépendantes.

Mais cette définition n'est bien nette que si l'on parle d'une fonction '^ parfaitement déterminée. On pourrait exprimer, d'une manière ou d'une autre, par exemple au moyen des relations entre les racines quand il en existe, la fonction cp (^,, ^r^, .. .,.^//) sous une autre forme '^(^i, ^2? • • -^ ^11)1 et l'on n'aurait pas nécessairement

On ne peut donc pas, d'une manière générale, parler d'une fonction des racines restant invariable pour une substitution, à moins de prendre la fonction sous une forme déterminée. Cette restriction, qui pourrait être une source de difficultés, sera heureusement inutile si la substitution (S) appartient au groupe de l'équation. Si l'on a, en effet,

o{Xi,X.î, .. .,Xn) — '\>iXi,X,, ...,Xn) = O,

on a, dans le premier membre, une fonction des racines dont la valeur zéro appartient au domaine et, par suite, d'après le théorème fondamental, on aura encore

<F(^a,^^, • '-,^1)— '^(xa,x^, ..., xi) = o.

Si donc cp est numériquement invariable pour la substitution S, il en sera de même de ^. On pourra donc faire abstraction des expressions multiples que peut recevoir une fonction rationnelle des racines si les substitutions que l'on veut effectuer appartiennent au groupe de l'équation. Cette remarque, que l'on omet généralement, sera d'une grande importance dans tout le développement de la théorie.

Voici maintenant un théorème important rappelant celui de Lagrange, par la forme de l'énoncé. Je considère une fonction

f{XuX2, ...,Xn)

rationnelle des racines gardant la même valeur numérique pour les substitutions d'un groupe G' faisant partie du groupe G de l'équation, et pour celles-là seulement-, toute autre fonction F

numériquement invariable pour les substitutions de G' s'exprimera rationnellement à l'aide de la première. Introduisons toujours l'équation

et les expressions de Xi, œ^^ . - • , Xu sl l'aide de V. Le groupe de substitutions G' sur les x correspond à un échange entre certaines racines

V„ V-2 Va (a<v)

de l'équation précédente.

Quant aux fonctions f{x\, Xo^ .... x,i) et F(^,, x-j, • . • . ^n)nous pouvons les mettre sous la forme

Or, en désignant par a la valeur de / pour V,,V2, . . . , Va,

l'équation

est vérifiée pour V,, Vo, . . ., Va, et ce sont les seules racines qu'elle ait en commun avec l'équation

, Or l'équation donnant les racines communes à ces deux équations s'obtient en cherchant un plus grand commun diviseur, opération qui n'introduit aucune irrationalité. Par suite, V,, Vo, . . . , Va sont racines d'une équation de la forme

X(V,rt) = o,

où les coefficients sont fonctions rationnelles de a. Or, on a aussi

F(VO=F(V,)=...= F(Va);

donc nous pouvons écrire

F = - [F(V,) + F(V,) -h. . .+ F(Va)]

et par suite F, symétrique en Vi , Vo, . . ., Va, s'exprime ration-

448 CHAPITIIE XVI.

nellement à l'aide de «, c'est-à-dire de/; c'est ce que nous voulions démontrer (^ ).

IV. — Groupes simples et groupes composés ; groupes transitifs .

19. Avant de montrer l'importance de la notion de groupe d'une équation algébrique, approfondissons davantage les généralités déjà étudiées dans la première Section de ce Chapitre sur les groupes de substitutions.

On dit qu'un groupe G relatif à p lettres contient un autre groupe r s'il renferme toutes les substitutions de cet autre groupe. Le second groupe V est appelé sous-groupe du premier.

Faisons voir d'abord qu'wn sous-groupe dhui groupe donné a pour ordre un diviseur de V ordre du groupe.

Désignons respectivement par m et [Ji les ordres des groupes G et r, et soient

(9) Si, S2, S3, ..., % (Si=i)

les substitutions de F; ces substitutions appartiennent à G et l'on a par hypothèse m > a. Il y aura donc une substitution ï de G, qui n'appartient pas à la suite précédente ; les substitutions

(10) TSi, TS2, ..., TS

appartiendront donc à G; elles sont distinctes et, de plus, aucune n'appartient à la suite (9), car si l'on avait