TS,= S

(•) Nous nous sommes placé dans cette section, comme d'ailleurs dans tout ce Chapitre, au point de vue arithmétique, qui est celui de Galois. En se plaçant au point de vue de la théorie des fonctions, et prenant en particulier une équation algébrique en y,

dont les coefficients sont fonctions rationnelles d'un paramètre x, on peut considérer le groupe des substitutions relatives aux permutations des racines quand x part d'un point pour y revenir après avoir décrit un chemin quelconque. On obtient alors des théorèmes analogues à ceux de Galois; on pourra consulter à ce sujet une Note de M. Hermite Sur les fonctions algébriques {Comptes rendus, t. XXXII, i85i). Dans son Traité, M. Jordan appelle le groupe dont je viens de parler le groupe de monodromie.

on en conclurait

T = s,srs

c'est-à-dire que T appartiendrait à la suite (9) qui, par hypothèse, forme un groupe. De là résulte que l'on a m = 2 u. ou m > aji.. Dans le second cas, il j aura une substitution T' de G n'appartenant pas aux suites (9) et (10), et nous aurons une nouvelle suite (II) T'Si, T'So, ..., T'Sa

de substitutions de G et, par suite, m sera égal ou supérieur à 3|i.. En continuant ainsi, on arrive à partager les m substitutions de G en un certain nombre n de |ji. substitutions données par les suites (9), (10), (11), . • • ; nous avons donc bien

comme nous l'avons énoncé.

Un corollaire immédiat est relatif aux substitutions communes à deux groupes. Ces substitutions forment évidemment un groupe, et V ordre de celui-ci, diaprés le théorème précédent^ est un diK'iseur commun aux ordres des groupes considérés.