Le tableau des substitutions de G mis sous la forme

Si, 8-2, ..., S^,

TiSi, Ti So, ..., TiSa, (Si = i)

T«— iSi, T,j i Sj

•l'^ÎXj

qui se présente déjà dans les Exercices d^ Analyse de Cauchy, est extrêmement important dans la théorie des substitutions.

Si une fonction de p lettres reste invariable pour les substitutions de r et pour celles-là seulement, cherchons le nombre des valeurs que prendra cette fonction pour l'ensemble des substitutions de G. Soit donc la fonction

qui reste invariable pour les substitutions S,, So, . . - , S^^,; toutes les substitutions

transformeront cpi en la même fonction que la substitution T< , puisque la première substitution à effectuer S^ transforme cp< en lui-même. Appelons cpo ce que devient cp, par la substitution T,. De même la substitution T2 nous donnera une fonction CD3, ainsi que tous les termes de la troisième ligne. Nous obtenons ainsi n fonctions

correspondant respectivement aux n lignes du tableau ci-dessus. D'ailleurs, toutes ces fonctions sont distinctes. Supposons, en effet, que T^ et Tp donnent la même fonction et que ^ soit plus grand que a, la substitution

T-iTp

transformerait cp, en lui-même, et l'on aurait par suite c'est-à-dire

T^ = TaS/,,

ce qui est contraire aux hypothèses faites, car on a appelé Tp une substitution de G, qui ne se trouvait pas dans les lignes précédentes.

21. Nous venons de dire que si l'on effectue sur cp, toutes les substitutions

TiSi, Tj S.2, . . . , Ti Sjx

on obtenait la fonction ^2- I^ est facile d'en déduire quelles sont les substitutions transformant cp2 en lui-même. wSi S désigne une telle substitution, la substitution

transformera cpi en lui-même : on aura donc

Tt^STi = S.

et, par suite,

S = TiSaTTi,

Cette substitution est donc une transformée par T^ d'une substitution de la première ligne. Nous avons déjà introduit (§6) cette expression de transformée d'une substitution par une autre,

et défini ce qu'on entend par transformé d'un groupe par une substitution. De ce que nous venons de dire, il résulte que le groupe correspondant à la fonction

est le groupe transformé de F par la substitution T), (on doit prendre To = i).

î2^. Un cas particulier intéressant est celui où ces sous-groupes correspondant respectivement aux différentes fonctions '.p,, cpo, ... auraient eux-mêmes un sous-groupe commun ; soit H le sous-groupe formé par toutes les substitutions laissant cp,, cpo, ..., 'j,, invariables. Si h désigne une substitution de H, et que 5 représente une substitution quelconque de G, la substitution

shs-^

transforme cs^^ en lui-même quel que soit a. Car tout d'abord la substitution s~^ transformera cp^ en une autre fonction cp^, la substitution h conserve 'i)p, et enfin s nous ramène à -p^t. Il en résulte que le groupe