SH

transformé de H par la substitution s est le groupe H lui-même. D'une manière générale on dit qu'un groupe H, sous-groupe d'un groupe G, est un sous-groupe invariant de ce groupe, quand la transformée de H par une substitution quelconque de G est identique à H.

Un groupe G qui contient un sous- groupe invariant (non formé de la seule substitution un) est dit composé; dans le cas contraire le groupe est dit smpLE.

^3. Revenons au cas général. La suite

forme l'ensemble des valeurs que prend une fonction 'j pour l'ensemble des substitutions de G. A chaque substitution du groupe G correspond une substitution des lettres cp, et rensenible de ces

substitulions des o forme évidemment un groupe g. Deux groupes correspondants tels que G et ^ sont, d'une manière générale, désignés par M. Camille Jordan sous le nom de groupes isomorphes ; à chaque substitution de G correspond une seule substitution de g^ mais à une substitution de g peuvent correspondre plusieurs substitutions de G. A chaque substitution de g correspond le même nombre de substitutions de G, à savoir le nombre de ces dernières substitutions qui correspondent à la substitution unité des cp ; si, en effet, S et S' sont deux substitutions de G correspondant à une même substitution de g^ la substitution

de G correspondra à la substitution unité des cp et on aura S'= Se en désignant par o- une substitution de G correspondant à la substitution unité des cp.

Or le nombre des substitutions o- est précisément égal à celui des substitutions qui appartiennent à tous les sous-groupes correspondant respectivement aux fonctions cp ; nous venons de les considérer à la fin du paragraphe précédent, et nous avons désigné par H le groupe que forme leur ensemble. L'ordre de H sera le nombre des substitutions de G qui correspondent à une même substitution de g.

On peut désigner par le symbole

le groupe des es que nous venons de définir.

Examinons le cas où F est un sous-groupe invariant de G, le groupe H coïncidera avec F. En revenant au Tableau

Oi, 02, . . . , Ï5^,

Ti Si, Tj So, ..., Ti Sm,

Si, Irt-iSo, ..., T/i-iSu.,

on voit qu'à chaque substitution des cp correspondent dans G les \^ substitutions d'une même ligne j en effet, les deux substitutions

T/Sa et T/S^

donnent la même permutation des cp, à savoir celle qui correspond à la permutation T,-. Le groupe g des cp est d'ordre n.

Si le groupe des o admet un sous-groupe g', l'isomorphisme fera correspondre aux substitutions de ce dernier dans G un sous-groupe G' formé seulement d'une partie des substitutions de G. Ce groupe sera formé d'un certain nombre de lignes du Tableau, et il contiendra la première qui correspond à la substitution unité.

On en conclut que G' contient le groupe F, qui en est un sousgroupe.

Une application importante du résultat précédent concerne le cas où le groupe F est un sous-groupe invariant maximum de G. Nous entendons par sous-groupe invariant maximum d'un groupe G un sous-groupe invariant V tel qu'il n'existe aucun groupe, sous-groupe invariant de G, contenant Y comme sous-groupe. Dans ce cas, le groupe g des o doit être simple, car autrement il contiendrait un sous-groupe invariant g' auquel correspondrait un sous-groupe invariant G', qui admettrait lui-même le sous-groupe F, et celui-ci ne serait pas par suite un sous-groupe invariant maximum. La réciproque est évidente : si g est un groupe simple, F est un sous- groupe invariant maximum.

Si nous revenons au cas général, dans lequel F n'est pas un sous-groupe invariant, on montrera de la même manière que, si le groupe H est un sous-groupe invariant maximum, le groupe g est simple.

24. Après la notion de groupes simples et de groupes composés, introduisons encore une autre notion jouant dans la théorie un rôle capital. On dit d'un groupe qu'il est transitif quand il existe au moins dans ce groupe une substitution remplaçant un élément quelconque ^'a par un autre élément x^ arbitrairement choisi. Un groupe qui n'est pas transitif est dit intransitif.

Reprenons, par exemple, la fonction déjà considérée (§ 7)

Tl existe un groupe de huit substitutions la transformant en elle-même, et parmi ces substitutions l'on peut en trouver qui

remplacent ^< par une quelconque des autres lettres Xo, ^3, ^',. Le groupe correspondant à cette fonction est donc transitif. Prenons maintenant la fonction

ce i X-2 — ^3 17*4.

Parmi les substitutions transformant cette fonction en ellemême, il n'y en aura pas remplaçant Xi par x^ ou X', ; le groupe de cette fonction est intransitif ( ' ).