V. — Composition des groupes; Théorème de M. Jordan
25. La composition des groupes forme un Chapitre important de la théorie des substitutions. Soit un groupe composé G; formons vme suite de groupes
G, Gi, G2, . . . , Gp, I
dont chacun est un sous-groupe invariant maximum du précédent, et dont le dernier est formé par la substitution unité.
Soient
les ordres respectifs de ces groupes. Les nombres
fji mi m,,
sont des entiers, puisque chaque groupe est un sous-groupe du précédent. On les appelle les facteurs de composition du groupe G.
Il peut arriver que les opérations précédentes puissent se faire
(') Outre la notion de groupe simple ou composé et de groupe transitif ou intransitif, une autre notion est encore d'une certaine importance dans la théorie des groupes; c'est celle de la primitivité. Quoique nous n'ayons pas à en faire usage dans la suite, indiquons cependant une définition. Un groupe transitif est dit non primitif, lorsque les lettres peuvent y être réparties en systèmes contenant le même nombre de lettres et telles que, dans toutes les substitutions du groupe, les lettres de chaque système soient remplacées par les lettres d'un même système. Les groupes dans lesquels les lettres ne sont pas susceptibles d'être réparties en de tels systèmes sont dits primitifs.
de différentes manières. A chaque série de groupes correspondra alors une suite de facteurs de composition. M. Jordan a démontré (^ ) que les facteurs de composition sont les mêmes, à U ordre près, et, par suite, sont en même nombre. Ainsi, si l'on a les deux suites de groupes
G, Gi, Ga, .... G;,, I, G, G',, ..., G^/, I,
on aura/? =/>', et les quotients des m relatifs au second groupe seront les mêmes, à l'ordre près, que pour le premier.
26. Pour démontrer cet important théorème, commençons par un lemme préliminaire (-). Soient G et G' deux groupes permutables, c'est-à-dire tels que l'on ait
G'GG'-i = G,
en entendant par là que la transformée du groupe G par une substitution quelconque de G' redonne le groupe G, et inversement. Désignons par m et m' les ordres de ces deux groupes. Les substitutions communes à G et G' forment un groupe F d'ordre u., et l'on a
771 = n f JL , 711 = 7l' IL.
En employant des notations analogues à celles des §§ 19 et 20, nous pouvons mettre les substitutions de G et G' sous la forme des deux Tableaux :
TiSi, TjSo, .... Ti Sjx T'jSi, Tj S2, ..., T'^Sp,,
TjSi, ToSo, . .. ToSjx et T'^Sj, T', S2, .... T'^Sm,
t/i-^l, t«^2i •'•■> A/j^;x A/i'^lj F,j/02, ..., T/,,S(x|
nous introduisons seulement, pour la symétrie, la substitution T, = Ti = I ; on a aussi S, = i, comme plus haut. Montrons que les substitutions
TyT^Sa
(') C. Jordan, Ti-aité des substitutions, page ^8.
(») Nous suivons la même marche que M. xXetto dans son Traité des substitutions (pages 87 et suivantes).
P.- III. ' 3i
mm
forment un groupe d^ ordre contenant les deux groupes
G et G' comme sous-groupes invariants, et que le groupe r(S<, S.>, . .., S[j,) est un sous-groupe invariant de G et de G'. Démontrons d'abord la dernière partie de l'énoncé; on a
TpS^Sa(TpS^)-i = TpS^SaSy^Tp^ = Tr^Sa'Tjî^ = Sa".
La dernière de ces égalités provient de ce que les deux groupes G et G' sont permutables, car, Sa' appartenant à G', sa transformée par la substitution Tp de G appartient à G'; d'autre part, cette transformée de Sa' par Tp, formée de substitutions de G, appartient à G : elle appartient donc à G et à G', c'est donc une substitution Sa".
Pour Ja première partie du lemme, faisons le produit de deux substitutions de la forme indiquée; en désignant par la lettre 2 avec un indice une substitution de G, on aura à faire le produit des deux substitutions (£) T;Sx et T^-Sv.
Or, le produit TySx'iy'^X' peut s'écrire
T'yT;.2x'.Sx' , si l'on observe que l'on a
vxt:^, = t;-sx"
comme conséquence de la relation TyT^ S^Ty- = Sx", qui exprime que les groupes G et G' sont permutables. Or, d'autre part,
TyTy = Ty"Sa'.
Nous avons donc le produit des substitutions (s) sous la forme
T:i,.Sa'Sx"2x' = Ty"Sx"';
il est, par suite, de même forme que chacune des substitutions (s). On verrait, par des transformations analogues, que l'inverse d'une substitution de la forme (s) et le quotient de deux telles substitutions est encore de la même forme. Ces substitutions forment donc un groupe ; nous l'appellerons le groupe A.
Pour évaluer l'ordre du groupe ainsi obtenu, et montrer qu'il
est égal an nombre des T' multiplié par le nombre des I, c'està-dire n' Ji'j, ou , il suffît de faire voir que toutes les subsli-
tutions TyTpSa sont distinctes, a, |3, v ajanl les valeurs
P = 1,2, ..., /l, 7= 1,2, ...,Jl'.
Si l'on avait, en effet,
TyTpSa = Ty'Tp'Sa', on en déduirait
le premier membre représente une substitution du groupe G', le second une substitution du groupe G; ils ne peuvent être égaux que si leur valeur commune représente une substitution de F, c'est-à-dire une substitution S. On aurait donc
ou
Ty = TySg,
ce qui ne peut avoir lieu, d'après la loi même de formation des deux Tableaux, que si y = y' et Ss = i . On en déduit
et, par suite, jj = ^', a = a' pour la même raison. U ordre du
groupe A est donc — —
Le groupe A admet évidemment comme sous-groupe les groupes G et G'; il faut faire voir que chacun d'eux. G, par exempte, est un sous-groupe invariant. Soit Sa une substitution quelconque de G, et T^S^ une substitution quelconque de A. La transformée de la première par la seconde est
Or, G et G' étant permutables, la transformée de Sg par Ty donne encore une substitution de G, et le théorème est établi.
27. Arrivons maintenant à la démonstration du théorème de M. Jordan. En partant du groupe G, nous avons, on le suppose,
les deux suites définies plus haut
(I) G, Gi, C,„ ...,
