II) G, G',, G

Les deux groupes Gi et G'j sont permutables, et nous allons leur appliquer le théorème que nous venons d'établir pour les groupes appelés G et G' au paragraphe précédent. Que devient ici le groupe A? Il doit se confondre avec G. Tout d'abord, en effet, A n'admet que des substitutions appartenant à G; c'est donc un sous-groupe de G. Ensuite c'est un sous-groupe invariant, comme le sont Gi et G'^, ce que vérifie un calcul tout analogue à ceux que nous avons faits plus haut. Si donc A ne se confondait pas avec G, ce serait un sous-groupe invariant de G admettant G^ etG'i comme sous-groupes, ce qui est impossible, puisque G, et G'^ sont des sous-groupes maximum.

Il résulte de là que, si l'on désigne par

771, nii , m? , . . . ,

m, jn\^ m'g,

les ordres des groupes des deux suites, on aura

p. désignant l'ordre du groupe F formé par les substitutions communes de Gi et de Gî-

D'autre part, le groupe F d'ordre [jl est un sous-groupe invariant de G< et Gî , d'après le théorème du paragraphe précédent; nous allons montrer qu'il est maximum. Supposons, en effet, qu'il existe un sous-groupe H invariant de Gt contenant F.

Nous allons montrer que le groupe H est permutable à G'^ . Désignons respectivement par 5, s' et A, avec des indices, les substitutions de Gi , de G'^ et de H. On voit de suite, en groupant convenablement les termes, que la substitution

appartient à la fois à G, et à G', et, par suite, à F. Soit Sx cette

substitution. On en conclut

ce qui montre que H et G', sont permutables.

Appliquant alors le même théorème à ces deux groupes, on pourrait former un groupe permutable à G et contenant G', comme sous-groupe, ce qui est impossible, puisque G'^ est maximum. Le groupe H n'existe donc pas, et F est un sous-groupe invariant maximum de Gj et G',.

Considérons maintenant une suite de composition du groupe F

les deux suites