III. — UnLTIPLICATIOK DES POITNOHES

Proposons-nous d'abord de multiplier un polynôme

par 1

1 monâme r

° Supposons d'abord P et m positifs, a, h, c, d et commensuraLles ; m sera une fraction que nous pouvoi

e à-^; alors la question est ramenée à prend,

supp(

les ^de P. Or,

L l'on ajoute quatre polynômes égai

OU retrouve P, en vertu des règles de l'addition des pol) DÔmes ; doue le polynôme Q est égal à -: • Ajoutons main tenant trois polynômes égaux à Q, le résultat sera égal

trois fois

et l'oi

j des règles de l'addition

d'où l'on voit que, pour multiplier P par /. multiplier par m chacun de ses termes.

a* Supposons acluellement (]ue, P et m restant toujours [ positirs, a, b, c, d, m puissent prendre des valeurs incommensurables. Désignons par a', h', c' , (/', m' les nombres commcnsurables supérieurs à a, l>, c, il, m ayant ces Dombres pour limites, el par a", b", c", d", ni" les nombres commensurables inférieurs k tt, b, c, d, m aj'anl ces quan- • tilés pour limites, (Si quelqu'un des nombres a, b, c, d, m était commensurable, a par ex.emple, il faudrait remplacer dans la démonstration a' et a" par a.) On a évidemment

„,'(„' i," -1- r'-r/- ; >mP> m"(n"- ft' + c"- (Z*). OU, en vertu de la règle trouvée tout à l'beure,

> mP > m'a" - m" t' ■+ m"c" - m''d\ lel, a fortiori ,

Or les membres extrêmes de cette inégalité difli&reDt loua deux de ma — mb -)- me — md d'aussi peu que l'on veut, ' En effet, posons

-i-{m'c'—mc) -t-fm'tf— mil).

Hais m'</ a pour limite ma, n^V a pour limite mb, etc. ; donc les difl'érences entre parenlliésea peuvent être rendues aussi petites que l'on veut, et la différence A — C par suite aussi. On verrait de même que C — B peut être pris

moindre (|uc toulc qnaiiihé donoée; mais, en verta de formule (i), fRp resie compris entre A et B, qui diffère de C d'aussi peu que l'on veut; donc, a fortiori, les qnai lîlé» fixes mP et C difTèreot l'une de l'antre d'aussi pi que l'on veut. Elles sont donc rigoureusement égales, l'on a

ou bien, d'après la formole (3),

mP ^= ma — mb + me — mil.

3" Siippusons maintenant P négatif et m positif; si noi changeons le signe de P, nous changerons évidemment signe du produit sans changer sa valeur absolue. Or q change le signe de P en changeant les signes de chacun ( ses termes, et l'on a

— V -^ ~ a -h h — e --r d; — P étant posîlif, on aura, d'après ce qui vient d'être di

et, par conséquent, nous trouvons, comme dans le cas où est positif, en changeant les signes des deux mcmijres,

mV = ma — mb -<- me — md.

Il resterait à examiner le cas oii P serait positif et m né gatif, et celui où m et P seraient négatifs tous deux; 1 lecteur complétera facilement lui-même la démonstratto) que nous venons de commencer.

En résumé, pour mulfifilier un polynôme par un mo nôme. il su/jfit de multiplier chaque terme du poljmômpar le manôine, en considérant chai/ue terme du poly

ne comme ajj'ecté du signe qui le procède, et en ajan

1 d'appliquer la règle dea signes.

Proposons-nous maintenant de faire le produit des dcui polynômes

le rêsullat cherché sera

ou, en remplaçant aQ, ÂQ, cQ, . . . par leurs valeurs , obtenues en appliquant la règle donnée précédemment,

h et- — fp] -hirtm H

Lorsque l'on aura effectné les additions et soustractions indiquées, on voit que le prodoit se composera : i" du produit de chacun des termes de Q por le premier terme de P; a" du produit changé de signe de chacun des tcrnm de Q par le second terme de P, abstraction faite de son signe, ou, ce qui revient au même, du produit de chacun ' des termes de Q par le seeond terme de P, en tenant compte de la règle des signes ; 3" etc.

Ainsi donc, pour multiplier entre eux deux poljnômes,

il suffit de multiplier cliar/ue terme du multiplicande par

' vfintfue terme -du mullipUcnteur, en tenant compte de la

règle des signes, et d'ajouter les résultats ainsi obtenus.

Considérons maintenant placeurs polynômes P, Q,

R, S, ... ; si nous voulons en faire le produit, il faudra

d'abord multiplier P par Q, le rt'sultat par H, et ainsi de

«uile. Or PQ est la somme algébrique des termes obtenus

l^fen prenant un terme diins P et dans Q de toutes les ma-

'niëres possibles, et en faisant leur produit; PQIl sera U

, somme des termes obtenus en multipliant de toutes les

' manières possibles un terme de PQ par un terme de H, ou,

} ce (jiii rerient m mèine, PQR sera la sonmc de» produits

M TiuiTK d'algèbre.

obtenus en prenant pour facteurs un terme dans chacu des polynômes PQR de loutes les manières possibles. E continuant ce raisonnement sur un plus grand nombre d polynômes, on arrive à celle conclusion, qui nous set Irès-uiile :

Le produit de plusieurs polynômes est la somme de produits obtenus en prenant de toutes les manicros pos siltlcs pour facteurs un terme de chacun des polynôme, en f/ueslion.

n. — SUR auELauEs sihflitications qui se fbésehtent

SUIS L£ CUCm. ALBÉBRIQIŒ.

Il peut arriver, en faisant une addition, une soustraction ou une multiplicaLÎon, que certains termes du résultai soient semblables ; dans ce cas, le résultat se simpliGe. Er effet, considérons des termes tels que

2a»i, -3oU, -1 SaH;

si ces termes entrent dans un même polynôme, on peut les écrire l'un à côté de l'aulre, et l'on aura évidemment

an'i -

Car, en vertu de la règle donnée pour la multiplication des polynômes, le second membre de Tégalîté précédente 1 au premier; en sorte que les irois termes con-

sidérés se réduisent :

là que :

Règle. — Pour réduire dt seul, il suffit d'ajouter leurs d des signes, le terme réduit de dont il dérive.

;nl à 4"'^- On conclut de

ï ternies semblables en un 'efficients en tenant compte meurant semblable h ceux

Lorsque l'on multiplie entre eux deux monômes, il peut

ciupiTHE II. aS

■TiTCT que ces ntonAraes renrennent une même lettre; iW» ce cas, le résultat se simplilic. En eDet, considérons kprudail

« l'on observe que, pour multiplier une qtianLÎtij par lui pnxhtii, U suffit de la multiplier successivement par chann <lc« facteurs de ce produit, le résultat clierclié devient

a o» X A X C >t 4 >- "* X A' ; e* :-: il,

M. eu întervertlssaDt l'ordre des facteurs,

3X4 Xo'a'ii'c't'rf.

Uiu ce produit ne changera pas si l'on remplace cjitelqiies bnear* pjtr leur produit; si l'on remplace, par exemple, locorfliciirnts a et 4 par 'cur produit 8; si l'on remplace tsfin les facteurs, tels que a*, à', par leur produit a''*'' v% a*, qui indique que la lettre a a été prise quatre fois {int lieux fois comme facteur; en sorte que le résultat (inal ■tn

Dr U on déduit cette r^glc. appelée icgl<^ de la niultifliâaCKM dv* moRÔmei :

ftifii^. — Lorsifue deux monômes renferment crlaines Ifttrr* fit commun, pour les muliiplier entre eux il sujjil it jmri^ le prwiuit de leurs coejjicients et d'écrire à la MÛe de cr produit tes Irttres communes affectées clmcune fia» ttrffOfanl ègnl it la somme des exposants dont cette lettre rxt affectée dans les deux /ricteurs, et les lettres non

I n «a tans dire qu'une lettre quî n'a pas d'exposant est retu^ uorter l'exposant i. car l'exposant est le nombre «si indique combien de l'ois cette lettie est prise comme

a6 TnAmi d'alsësbe.

facteur. On pourrait même ajouter qu'une letLre porta l'exposant /.éro est égale à i, car l'exposant zéro indiqi que celle lettre n'entre pas comme facteur; en sorte qu'i crire a" à la suite d'un produit, c'est n'y ajouter auci facteur ou le facteur i , ainsi qu'on l'a fait observer (p. i j En s'appujant sur les règles que nous venons de démoi trer, on aiTÏve facilement aux formules suivantes :

OU

L'usage des parenthèses et des exposants placés en hai de ces parenthèses a déjà été enseigné en Arithmétique ; est donc inulilc de l'expliquer ici. Les formules que noi venons d"écrire correspondent â des théorèmes qu'il l'ai se rappeler, el qui soûl d'un usage continuel en analyse

Le carré de la somme ou de la différence de deux i/ua, lilés est égal à la somme des carrés de ces ifuanlités, pli ou moins leur double produit.

Le produit d'une somme par une différence de deu termes est égal à la différence des carrés de ces terme

Voici encore quelques formules à retenir :

(<.H-i)» = a' + 3a'6 +3ai= -i-b\ [a- bf^t^ - 3«'* +3ai> - È>,

e l'on vérifiera sans pcînc.

T. — DITISIOH ET FMCTIOltS UGÉBBiaïïES.

La plupart dn temps, en Algèbre, la division ne pei que s'indiquer; ainsi il n'existe pas toajouM un polynûin

s lettres conservent is plus loin A quels un polynAme quo-

' quotient de deux autres dans lesquels l<

des valeurs indéterminées. Nous verro 1 s^inpLâmes on reconnaît l'existence d f lient.

Quoi qu'il en suit, une division u'élanl. qu'indiquée, on I pourra simplifier les écritures en supprimant des facteurs

commnns au dividende el au diviseur lorsqu'il y eu aura

On appelleyrocff'on algébrique le quotient non elTeclué de tleux quantités algébriques; le dividende porte alors le I nom de numérateur, le diviseur le nom de dénominateur \ de la fraction.

Théorème I. — Etant données plusieurs /raclions, nn r jffut toujours tes réduire au même dénominateur, e'esfà-dire trouver des fractions égales aux fractions données et a\ ant toutes le même dénominateur.

Eu efl'et, il suffit pour cela de multiplier les deux termes I de chaque fraction par le produit des dénominateurs des , autres. Quelquefois l'opération est moins compliquée ; ainsi

I lesfractio

se réduisent au même déi

bd' dh

leur en multipliani les deux termes de la première par dh, I eeu\ de la deuxième par h, ceux de la troisième par h.

THËonÈHE II. — Pour ajouter ou retrancher des fractions, il suffit de les réduire au même dénotninaleur et d'effectuer, comme en Arithmétiijue, les opérations sur les numérateurs.

Considérons les fractions —■ 1 , ■.-. a^ant toutes le

I dénominateur m; nous avons déjà vu que ~ était égjal à

• Oa le vériûe du reste ftiséuient en reniarquaat

que — et a X — multipliés par m donnent tous deux a ; o ^ m m ' *

a donc

abc 1,1 1

1 h--— «X \- byc cX--f--9

ou bien, en considérant a,bj c, ... comme coefficients d

termes semblables relativement au terme — >

Cette égalité renferme le théorème qu'il s'agissait de démontrer.

Théorème III. — Le produit de deux fractions est um fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs des fractions proposées,

En effet, soit à multiplier j par-; une fraction ou quotient, comme on a vu (p. i3), est multiplié par un nombre quand on multiplie le dividende par ce nombre, de sorte que Ton a

et, pour la même raison,

ac\ a c \ d I

mais, pour diviser la fraction -T- par i, il suffit de multi-