CHAPITRE V. l

dea»

i/ 1 ih a =: I dz - a, ^ 2

:tr-= I ip - a.

\/i in a

La formule du binôme pour le cas où l'exposant m est fractionnaire a été donnée par Newton, mais Tillustre géomètre n'en a pas donné de démonstration bien satisfaisante.

S. — SËBIES LOftABITHMiaUES , CALCUL DB ir. La formule du binôme donne

I — x)-"' = IH- - X H ^ ^ x« -f- . . .

rn peut être quelconque : nous le supposerons positif; quant à x, son module doit être plus petit que i. On en tire

' ^ r=xH- H-//2 h...

-f-fi-hw: 14 — •••( i-f- — 1 h ••••

^ ^V 2/ \ njn-hi

Faisons tendre m vers zéro ; la limite du premier membre s'obtient en observant que

1 ,. . /wlofifi — x) m'ioc'fi — x)

l34 TRAITE D ALGEBRE.

Oa en conclat

^^ ^ =- log(i - .r) -^- log»(i - .r) -. . .,

et, pour m := o,

,. (i — Xi—'"^ I , . .

lim ' = — lo- ; I — .r '.

On a donc

Soient S,, la somme des /z -f- i premiers termes de la série écrite entre crochets, R,, le reste; soient S'„ la somme des n -h 1 premiers termes de la série suivante et K„ son reste :

qui est évidemment convergente, puisque le rapport d'un terme au précédent a pour expression générale - ? quantité qui a pour limite x, lequel par hypothèse a un module moindre que i.

Soit p le module de a: ; on peut toujours prendre /i assez grand pour que R,, soit moindre qu'une quantité donnée e lorsque x se trouve remplacé par c, et alors il est clair que l'on aura non-seulement

mod R;, <; s, mod ii'^ <^ s,

mais que ces inégalités seront encore satisfaites quand m diminuera. On aura alors

ni()d(R. — r;,)<?.2.

Cela fait, on pourra toujours prendre m assez petit pour