CHAPITRE Y. l

qce

mod ( S;, — S'„) < «,

car Sn a pour limite S'„. Donc alors on aura

iiîod ; s,, - s;, ) H- mod ( R„ - r; )< 3 s,

eiafortioi'i, puisque le module d'une somme est moindre que la somme des modules de ses parties,

mod;s,-S', + R,-R'J<3s ou bien

mod(S„-f-H,, — S)<3c.

€ étant aussi petit que Ton veut, cette formule exprime que S,i -t-Rrt a pour limite S. La formule (2) devient alors, pour les valeurs de x dont le module est plus petit que i,

(3) — lojî(i— .r)=3.r-4- — -f-~ +. . .H

En changeant x en — .7-, on a la série de Mercator (Kauffmann)

( 4 ) I0-: ; i -:-./•■ =1 .r — -h - ■- — . . . db h . . . ,

et Ton doit toujours avoir mod.r<^i (*). Néanmoins, s'il y a convori^cnce, (juand mod.r = 1 , la formule sera encore

(*) (^)iie X soit rtM'l ou iniH;^in.iiro, loç^n-x) cl lo{;'i — x) ont unfi infiiiiti* (Je %.il«-u('s, et il e>l Wwii cluir ({uc quand x est réel, c'o&t la valeur nrlle ih's 'îuaiililis !*»;; i — x% I»*J,i -H •*") qu'il faut prendre dans les formules (,>; et ( 1). Ouand x est iin:ii:în.iirc, les valeurs qu'il faut prendre Bont un peu i)Iuii dilliciles à déterminer, mais avec un peu d'attention on y arri\i*; si l'on .sep.ire les parties réelles des parties imaginaires, on obtient ainsi des furniMli^s curieuses, mais sur Icbqucllcs nous ne croyons pas devoir nou» arrêter.

l36 TRAITÉ D*ALGèBRB.

vraie; ainsi, pourx = i, on a