On a les formules

c:c cosx =: — ^~ loirl^.r -±1 v .r- — i;»

arc laiigj:= — .— :- 1o;.t •

i\- — I I — .ri/ — I

(J. Bernoulli.)

Ce? forinwlis s'obtiennent en résolvant par rapport à 1/ les équations qui uoùncut bin//, cos//et tang//.

Montrer que ces formules mettent en évidence la périodicité des fjiutiOi*s siux, coàJT et taug^r.

IS. :^i Icn con<iùère des foCteurs en nombre illimité, mais dans un ordre déterminé, on dit que leur produit est convergent si le produit ces // premiers tend vers une limite déterminée différente de zéro, lorsc;ue // augmente indéfiniment.

Un produit quelconque peut se mettre sous la forme

(l -T- ^i);! -r--i:\ ..:i H- a,j) (iH- a„Hi)4- ...,

et, pour quil soit convergent, il faut que a^ tende vers zcrv. En effet, en appelant 1\ le produit des n premiers facteurs, on a

Or la limite do P^, ?i le produit en question est convergent, doit être la môme que cela' do P^-i ; donc a„ doit avoir pour limite zéro.

Le produit suivant, dans lequel aj, aj, .... 7.^ sunt positifs, \) i» -*- aj) (i H- aj).. .(i -+- «rt). . .,

est convergent ou divergent en même temps que la série [%) ai-h a|H- aj-^-. . .-+- a|,-+-.,..

r44 TRAITE d'algèbre.

En effet, on a

Si donc la série (a) diverge, ai -i- a, -h . . . -h a,, augmente indéfiniment; donc Pn augmente indéfiniment avec n et le produit (i) est divergent.

D*un autre côté, on a

IH- ai < 6'", I -H a, < 6''5, . . . , I -♦- a„ < 6'*", ... ;

donc

(i H- ai)(l -+- aj).. .(l-+- a„)< t.«t-f-«î r...-t ««,

Si donc la série (i) est convergente,?,» aura une limite pour /t = » , et par suite le produit (i) sera convergent.

Lorsque le produit

(l) (l 4- a,)(i-Ka2)...(i-f-a„)...

est convergent, la série

(a) log(l -H «i) -+- log(l -4- a,) -H . . .

l'est aussi.

Si le produit [\] devient convergent quand on remplace ai, aj, . . . par leurs modules, il l'était primitivement. (Cauchy, AnaL algébr. )

jft r A t '■ '' '^ '^ I sinx

19. Le produit cos — cos t ^'o ; 77 • • • cos — • • • a pour valeur •

20. Soient 2, 3, 5, . . ., /z, . . . les nombres premiers consécutifs; le

produit fi-H-jfi-HJ»«'M-H-J-'- est divergent : en conclure

que la série formée des inverses des nombres premiers est divergente.