I. — DÉruriTiois

On appelle fraction continue une expression de la forme ( * )

bi-^'.

dans laquelle les quantités a^^ a^, a^y ...,£,, b^y b^, ... peuvent être en nombre illimité. Dans ce dernier cas, il est indispensable de définir ce que Ton appelle valeur de la fraction continue.

Lorsque Texpression

(*) La théorie des fractions continues est due à lord Brouncker, qui a donné sous cette forme l'expression du nombre ir. Quelques professeurs déOnissent la fraction continue en supposant a^y a,, ... égaux à l'unité; cette déflnitionji'est pas conforme à celle des bons auteurs dans lesquels nous ayons puisé notre déGnition ; d'ailleurs la théorie générale n'est pas plus compliquée que celle des fractions très-particulières dans lesquelles

«1 ^ tfg = tfg = . . . ^ !•

CHAPITHE VI, IJ7

que nous désirerons par le symbole F", tend vers une limite finie quand n croît indéfiniment, la fraction continue est dite convergente, et la limite de F" ou F^ est ce que Ton appelle la valeur de la fraction continue; dans le cas où F" ne tend vers aucune limite, la fraction est divergente.

La valeur de F" est ce que l'on appelle la n"*"" réduite,

■T'^' •■' sont ce que l'on appelle les fractions intégrantes.

F", F^, F', . . . sont ce que l'on appelle le premier, le deuxième, le troisième quotient complet^ ils jouent ici un rôle analogue aux restes dans les séries.

Occupons-nous de la formation des réduites. On a

La loi de formation de ces réduites est exprimée parla formule suivante,

dans laquelle P, désire d'une manière générale le numérateur et Q, le dénominateur de la i""" réduite. Pour dénvonlrer la formule (2), admettons qu'elle se vérifie jusqu'à une certaine valeur m de n, changeons m en m -|- i; nous allons voir qu'elle subsiste pour la nouvelle valeur de n. Eu effet, pour passer de la m -h i""" réduite à la

m-+-a'*"*, il suffit de changer i;i,.^i eo iiB+i+ï^— } ''

l48 TRAITE D ALGEBRE.

vient alors

■Pm-4-t ( Pm ^m-H "^~ Pm— 1 ^/;>h-1 ) ^m-*-l "^" ^m ^w4-»

Q/H-4-1 (Q/« ^m+l "+~ Q/n-l "//i-Hii ^/in-i 4- Q/« "///^-j

c'est-à-dire

"m-*-î P/ii-4-1 '^m-f-» "+" Pm ^/r-»-î

La formule (2) est donc vérifiée pour ;i = /n -h i; or elle est satisfailc pour n = a, comme le prouve la relation (1); elle Test donc pour « = 3, par suite pour ;i = 4,- . .; donc elle est générale. c. q. f. d.

Ainsi, on peut poser les formules

Po =^oi Qo =1,

Pi =Po*i-t-«i, Qi =^1,

(3)'P, =Pj/;,-+-Po/7„ Oi =Qi^,4-Qo^,.

P/i-hi "P/i ^/i+i -^ P/i-1 «/i+i» Q/i+i = Q/» '^/i+i H- Q/,-1 *

De là on pourrait tirer P,,^, et Q/i+« sous forme de déterminants en fonction des a et des h.

Théouème I. — On a

(4) P/i-Hl Q/i — Q«4-l P// = (— I î" «1 fl'; . . . ^'w^-i.

En effet, remplaçons dans le premier membre P^^i et Q/i+i psir leurs valeurs (3); on a

Pn-4-1 Q,. — Q/,+1 P/» = ( P« ^«+1 4- P«-i ««-Hi )Q

— ( Q/i ^/iH-i H- Q«-i "//+! ) P,

Pn+l Qn - Qn+1 P« = - ( P/i Q/,-1 - Qr, Pn-1 ) ««4-1 •

En remplaçant dans cette formule n par i, 2, 3, . . ., /i,

CBAFITAB VI. 14g

OU obtient des formules qui, mulûpliëes entre elles, donnent P,+>Q,-Q,+,P, = (->)"[P.Q.-Q.P»)''.''.--''-.-M

(4) P-+,Q™-Q«+iP« = (-

ce qu'il Tallait établir.

Les conséquences de cette formule (4) sont très-nombreuses.

I ConOLLAIRE I. — On <

. Si dans cetLe formule < ajoute les résultats, on a

il'ait/j=i,j,3,

De là un moyen, si la fraction continue est limitée, de calculer sa valeur sans avoir besoin de former les P,.

De là un moyen aussi de reconnaître si la IVaction continue donnée est convergente ; en effet, si elle est convergente {ou divergente), -^-- aura (ou n'aura pas) une limite

puur/i = 00 ,et la série (5j sera (uu ne sera pas) convergente pour n:= » .

ConoLLAinE 11. — La formule {S) Jait connnilre un développement de la fraction continue en série. Elle permet aussi, par t identification de son second membre avec une série donnée, de convei lir celle-ci en fraction con-

tinue. (Consulter à ce sujet le Calcul dijjér M. Bertrand.)

n. — ÉTUDE DD CAS OD LES iniHÉB&TEUBS DES ntACTlOHS IHTËGB&HTES SOHT ^GAUX 1 L-UHITÉ.

Lorsque les numérateurs des fractions intégrantes sont égaux à l'tinilé, les formules du paragraphe précédent se simplifient; mais, si l'on suppose de plu:> les dénominateurs entiers et positifs, la fraction continue jouira de propriétés arithmétiques intéressantes dont nous allons nous occuper.

1° D'abord une telle Jractîon est toujours convergente, car la série (5) du paragraphe précédent se réduit à

=ty,.Q„,^--

Les formule» (3) du niên

ae paragraphe don

ou Q.>Q,>s,

ou Q4>Q,>3,

Ainsi Q«+i>-«, et par suite le terme général de la série (i), tend vers zéro; celle série, et par suite la fraction conlinite elle-même, est donc convergente en vertu du théorème de la page 83.

a° J{écipro(jueiitent, tout nombre peut être développé de celte manière en fraction continue. En effet, soient en généra] E [x) le plus grand entier contenu dans x et N le nombre à développer ; on peut poser

et N' sera"plus grand que l'unité. Si N <[ t , on a d'ailleurs E(N) ^ o. On posera de même

ce qui démontre notre proposition.

La fraction sera limitée si N^ vi aelb désignant deux

entiers. En effet, E | -r j ou E(N ) est alors le quotient de a

par b, et, en appelant R le reste, on a N' = - : en appelant

R' le reste de la division de h par R, on a N"= — ,, ■•--

L'opération que l'on a à faire est identique avec celle dn plus grand commun diviseur, en sorte qu'elle se terminera si fi et & sont entiers.

3° Les réduites sont des fractions irréductibles.

En elTel, la formule ( 4 ) du paragraphe précédent donne

ToDt facteur divisant P„ et Q„ devrait diviser d: i . Ce facteur commun ne saurait être que l'unité, et par suite Pa

et Q„ sont premiers entre eux ; donc -~ est irréductible.

4° La différence entre deux réduites consécutives, étant

de la forme ± — — -- — t tend vers zéro en diminuant in-

dé/iniment. car

5" Le nombre N est compris entre deux réduites successives. On peut le voir aisément sur la fraction etleméme; mais on peut observer que la série (5) du paragraphe précédent donne les voleurs successives des réduites quand on prend son premier, ses deux premiers, ses trois premiers. . . termes. Or, la valeur de la série ou de la fraction continue est comprise, comme l'on sait, entre deux sommes successives, c'est-à-dire entre deux réduites consécutives (p. tjo); d'ailleurs, chaque somme ou chaque riïduite se rapproche de plus eu plus de N quand n augmente.

6" Los réduites sont les fractions les plus simples t/ue ton puisse employer poiu- approcher du nombre N.

En effet, «oil - un nombre approchant de N; il sera

compris entre deux réduites consécutives, par exemple

P» Pn-i

el sadifTérence avecN sera moindre que

en faisant celte différence, on trouve ^P„-.ft-Q„-,'»

Mais le numérateur de cette fraction est au moins ég à I ; donc la fraction précédente est au moins égale à ^-^ —

que b ]> Q„ ; donc la fraction j a sou dénominateur plus grand que celui de —■

ArPLicATtoH. — Réduisons 7t = 3,i4i39. - ■ en frac-