CHAPITRE VI

tion continue ; on trouve

Les réduites successives sont les nombres bien connus

01 333 355 3, — * — -7> — T> •••• 7 I ob I 1 3

m. — APPUGATI0H8 DE LA THÉORIE DES TBACnOBS C0RIHUE8

A L'ANALTSE HUMÉRIttUE.

Lorsqu'on veut démontrer Tincommensurabilité de certaines transcendantes, un excellent moyen consiste à les développer, si Ton peut, en fractions continues, et le théorème suivant permet alors, dans un grand nombre de cas, de trancher la question.

Théorème L — Si les fractions 7-^5 t^» ••• sont toutes en valeur absolue moindres que i , la fraction

représentera un nombre incommensurable, pourv^u que la dijfcrence entre an et bn ne soit pas toujours égale à un. Nous supposons ««, i|, «2» ^21 ••• entiers, mais du reste quelconques, positifs ou négatifs.

On aura d'abord en valeur absolue

l54 TRAITÉ d'algèbre.

mais, -p étant inférieur à l'unité, &i + 7^ sera encore plus grand que ai, car la difTérence entre a^ et b^ est au moins d'une unité, en sorte que, quand même ~ serait de signe contraire k b^, on aurait toujours

Soient F{, FJ, FJ, ... les réduites successives de la fraction continue considérée et F*, F*, ... les quotients complets successifs. En continuant ce raisonnement, on voit que F^, n étant un nombre fini, sera moindre que i; mais on ne peut pas affirmer a priori que F* soit moindre que I . Tout ce que Ton peut dire, c'est que la limite de F" est au plus égale à 1 . Mais, pour que F* = i, il faudrait que i| différât de ai d'une unité et que l'on eûtF*=i, c'est-à-dire que ia différât de a^ d'une unité, etc., en sorte que l'on ne pourra avoir F^ = i que si la différence entre a« et bn est un, encore F* scra-t-il moindre que un si ai, a^, . . ., i|, ^21 • • • sont tous positifs.

Ce cas est le cas d'exception signalé dans notre énoncé. Posons alors

on aura

c'est-à-dire

B^,4-C = fliA ou C = £i,A— 61B.