CHAPITRE VI. l

Si donc B et A sont entiers, C le sera aussi, et ainsi de suite. Or, si F^ est commensurable, on peut supposer A et B entiers ; mais on a en valeur absolue

c'est-à-dire

Ainsi A, B, C, ... seraient des nombres entiers indéfiniment décroissants, ce qui est absurde; donc F* est incommensurable, c. Q. F. D.

Afplicatioh. — La fraction

dans laquelle a et 6 sont des entiers positiis tels que b<^a^ est incommensurable. Supposons ces entiers constants, et soit z la valeur de la fraction ; on aura

c'est-à-dire

x'-f- rtS — ^ = o,

ou bien

^/l'-h 4 A est donc toujours incommensurable ; donc enfin a}-\'f\b n'est jamais un carré parfait si Ton aa^&, ce qu'il est facile d'établir directement.

17 — AFPUGATI0I8 DE LA THÉORIE DES FBAGTIOVS COHTIIUES A LA BÉSOLUnoa EN HOMBBES EITIER8 DES ÉaUATIOHS IHDÉ- TEBMUnËES DU PREMIER DEGRÉ.

Considérons Inéquation

ax -\- bY=i c,

dans laquelle nous supposerons fl, i, c entiers; réduisons j en fraction continue, et, à cet effet, soit b^ le plus

grand entier contenu dans - • Posons

on déduit de là

mm ^ ■ ■

On peut poser

et ainsi de suite; on a alors

Cette fraction est forcément limitée, sans quoi (p. i5o) le second membre ne saurait représenter un nombre commensurable.

Soient 77 ravant-dernièrc réduite, -j- la dernière; on a b i)

(p. 1 45) pour deux, réduites consécutives quelconques la

relation