CHAPITRE VI. l

-^ est égal à y Supposons que a et & soient premiers entre eux; on aura alors a"^=ny b"=:h et

ab' — ba' = zt I ,

d'où Ton tire

a[b' c) -^ b[— a' c)z=zz^c.

On satisfera donc à Téquation proposée en prenant

Connaissant une solution, on connaît facilement toutes les autres. En eflet, soit {jCo,ro) une solution; on aura

on déduira de cette équation et de la proposée

et cette équation peut remplacer la proposée; on en déduit

X = a —-^ H-Jo-

Or, a cl b étant premiers entre eux, pour que y soit une

solution entière, il faut et il suffit que -^ — soit un entier,

et Ton a alors, pour satisfaire à la question, les systèmes de valeurs suivants :

j' = x^±b, \x = .rQ±2b, i.r = .r^±:3b.

Nous avons supposé a ei b premiers entre eux; s'ils ne Tétaient pas, et si du reste n, i, c n'avaient plus de diviseur commun, il est facile de voir que l'équation

ax -+- by •=■ c

n'aurait pas de solutions entières, sans quoi le plus grand commun diviseur de a et £ diviserait le premier membre de l'équation sans diviser le second.

Si a, b, c avaient un facteur commun, il faudrait le supprimer, après quoi on rentrerait dans le cas que nous venons de traiter.

EXEBCICES ET NOTES.

1. Toute fraction conlinuB qui devient périodique est racine d'uno équation du second degré, dont les l'oeOicienls sont ralionDels par rapport aux termes dos fractions inli^granlcs.

2. Démontrer que, si N est premier avec a, b, .-, ... et moindre que leur produit, on a

A, B, C, . . . désignant des entiers.

3. La fraction continue dont toutes los fractions intégrantes sont

égales â -