Prouver que, m et n Étant deux nombrea JDCommensurablea

quelconques, on peut toujours trouver deux nombres entiers x, y tels que

Trouver etfcctivemoat ces deus nombres.

Cette proposition très-importante se démontre en réduisant — eo une fraction continue dont les numératours des fractions intégrantes sont l'unité et dont les dénominaleurs sont positifs. Soient ^ et

J^ deux réduites successives; leur différence est jr — 77-* Or — est compris entre deux réduites consécutives; donc

U reste donc à prendre -■ — < (, ce qui est toujours possible, car 0^«i croit indéSniment avec f, 9. IncommeasuraUlité de tt, — Posons

Le ucond membre de cette formule est une série convei^nle, car la rapport d'un terme au précédent a pour expression générale

i6o TnAiTÉ d'algèbre.

quantité qai a pour limite zéro poar n » oo . On a, en changeant

(fou Ton lire aisément

on, en multipliant par -7 :)

Si Ton pose alors

zcp(z) on pourra écrire l'équation précédente comme il suit

OU bien

En changeant z en z + i , z + 2, . . . , on a

>KZH- 1)= ,- • ,

^^ • Z -H 2 H-iI/^Z-i-i)' .•• >

et par conséquent

Z-H/— l-H^Ks-hl)