DÉBITÉES DES FOHGTIOIS 8IMFKE
Dérivée de a^. — Posons
en changeant x en x -f- ^Xyj devient j^ -H A/, et Ton a d'où Ton tire
Aj = a'-*^^' — a*
ou bien
ày^a'la^—l]
On lire de là
Ar^,«^-i,
l80 TRAITÉ D^ALGèBRB.
Si, dans cette iormule, on vient à poser
elle devient
. loff(i-+-a)
a^=H-a ou Ax= ^. ■ '-9
loga
Ar a'iosrr
OU bien
Ax l<)g(i-+-a)
Ar ^' ï^^o^
Ax
log(i-+-a)*
Si l'on fait alors tendre Ax vers zéro, a tend vers zéro, (n- a)* tend vers e, et par conséquent on a
Remarque. — La dérivée de a* étant a* loga, celle de e^ est e^.
Dérivée nE log x, — En posant
on a
c'est-à-dire
ou enfin
jr = logX,
Ay log(a?-i- Aj?) — loga?
Aa? Â5 '
JH
sJ = '*'8('^f)'^='°s
si l'on fait alors tendre A:r vers zéro, la limite d^
CUAPITRB VII. l8l
sera e*, et l'on aura
ou bien
y = -loge.
Si le logarithme est un logarithme népérien, on aura simplement
Dérivée de x**. — Si m est entier et positif, la dérivée de x^ est la limite vers laquelle tend le rapport
ou bien
c'est-à-dire
Si m est négatif, mais entier, on posera a:'"= or-^sz: i Ij:" et la règle de la page i<^9(l. aj) donnera — /ix-""-*=mx'*""*. Si m n'est pas entier, il faut supposer x positif, soit :
d'où
logr = m log X ;
si Ton donne à x l'accroissement infiniment petit ÙlXj la fonction x"^ étant continue, y prendra l'accroissement infiniment petit A)% et Ton aura
A hmr m A loi^x A Xocy Ar A \oex
iii- ^ 11— ou — = /n 2—
A.r Ax A/ Ax Aj:
l8a TRAITÉ D*ALGéBRB.
OU
^X Alogx^Alo;>r.
Aor Ax A^
si Ton fait tendre ûix vers zéro, on a
lira-— ou y = 'w(logx)'^: (log/)'^=: - / = mx^-\
comme dans le cas où m est entier et positif.
Corollaire I. — La dérivée de V-^ est égale à celle de
x*", c'est-à-dire égale à - x"* ou à - i/
^ m m y jc'"'-^
Corollaire IL — En particulier, la dérivée de ^x sera
Corollaire III. — Si ix désigne une fonction de Xy la dérivée de u'^ s'obtiendra en prenant la dérivée de u^ par rapport à w, ce qui donnera mu'^"*, et en la multipliant par la dérivée u' de u, en sorte que (p. 171 )
Corollaire IV. — La dérivée de u^ ou de Ju est — 7= •
7U. — DÉBTirÉBS DES FOHGTIOHS GIBGÏÏLAIRES. Dérivée du siwds. — Posons
on a, d'après la déûnition même de la dérivée,
, sin(a:-+-Ax) — sinx / = lim — ^ : 1
