CHAPITRE VII. l

c'est-à-dîre

. I ^ 2 sm — Ajt cos

y=zlim

(x+Iax]

mais, si Ton observe que le rapport du sinus à l'arc a pour limite l'unité quand l'arc tend vers zéro, l'équation précédente devient, pour Ax = o,

y = cosa?.

Dérivée du cosinus. — La dérivée de cosx se trouve de la même manière que celle de sinor; cependant on peut y arriver plus simplement en observant que

COSJT

sin ( x\ est une fonction de fonction. Pour obtenir sa

dérivée par rapport à x, il faut d'abord la prendre par

rapport à - — ^x, ce qui donne cos I x\ ou sinx,

puis multiplier ce résultat par la dérivée de la somme - — Xf qui est — i ; on a donc

[cosxy = — sinx.

Dérivée de la tangente. — On a

sinx

tang.r= 1

cosjr

l84 TRAITE DALGRBRB.

et, par conséquent, pour trouver la dérivée de tangXy il faut prendre la dérivée d*un quotient; en appliquant la règle donnée (p. 169), on trouve

, ,, (sinj:)'cos:c — (cosjf)'sînx

tangx'=^ '- ^ '- ,

c'estrà-dire

(tangx)'=: — — .

Dérivée ob la cotangente, etc. — On trouve ainsi

(C0tx)' = r-i-9

(seca:)'=: —-,

(cosecxr = r-j— •

^ sur.r

Dérivée oe arcsmx. — Si Ton pose

^ = arcsinx, on en déduit

(i) sinj = a?;

si Ton prend les dérivées par rapport à x des deux membres de cette équation, il vient, en observant que sinj^ est une fonction de fonction,

ycosj = I

ou bien

cos/ et, en remplaçant cosy par sa valeur tirée de (i),