CHAPITRE Vil. ao

(p. i'jB)/'(x,y)^=Of nous avons admis qney avait une dérivée; nous allons prouver que ;

Si/(j:,y) est continue par rapport à x et à y quand x et y varient dans le voisinage des valeurs Xt ety^, ya désignant une racine de f{xe, y)'^o telle que dans le voisinage de x, cette équation n'ait pas d'autre racine, 1° y est /onction continue de x pour des valeurs de x voisines de x„ a" si, en outre, /'^ st/' existent et sif^ n'est pas nul, y aura une dérivée.

Soit k une quantité très petite ; on aura

1 étant compris entre o et i , et, comme f{xa, y a) = o,

Oo aura de même, W désignant une quantité conipri:ie entre o et i ,

fOr, si/^(j"o,,)'o) n'est pas nul, ce que no: I étant très petit, ' /;(^..j. + U, et r,{x,.y,.

seront de même signe; donc, en vertu de (i) et (a), /(xo, y^+k) et /{xot .ro — k) seront de signes con- ' \ assez petit pour que

is supposerons,

ais on peut preni

J{xs->-h,y„-^k) et /(*o + A,/,— A)

■ont de signes contraires; donc, en vertu d'on théorème nnnn (t. If, p. 3o),y"(j*o + A, j) devra passer par zéro pour

a04 TB*ITÉ D'ULCÈBRl

une valeur de^ comprise entre y,, -\- k ei y^ — ^i donc, à un accroissement k â,^ x sufUsaminenl petil correspondra un accroissement aussi pelil que l'on voudra de y, qui, par suite, sera continu. Cela posé, on a /(x^-\-k.yB+k)=o et /{x^-^ h, y,,^ k) — f{XB,y,) = o, A et k désignant deux accroissements simultanés et infiniment petits de x el y; en développant le premier membre par la formule du paragraphe précédent, on a

d'où l'on tire

Or, quand h lend vers zéro, si/^ n'est pas nul, on a vu que A" tendrait vers zéro ; on a donc, en passant aux limites,

Considérons maintenant une fonction y donnée par deux équations

(3) o{T,y,z) = a. il/{x.y,z) = o,

définissanl deux fonctions, y el z àc x.

En vertu de ij; = o, s est une fonction de X et de^, continue par rapport à x comme par rapport à^r; si l'on suppose que de cette équation on ait tiré z pour le porter dans ç ^ o, cette équation prendra la forme Y(^X, y) ^o et dëGnira une fonction continue j' àc x, pourvu que F^ ne soit pas nul. Or

aissest donné pai

la foi

= 0 et 3

par

la formule

ciiAPiTni; vu. io5

Donc, pour que F^ ne soit pas nul, il faul et il suffit (jue le di'lerminant »y}i^— oj'fi^ soil différenl de zéro. S'il en esl ainsi, >" et 3 sont fonctions conlinues de x, et l'on a, en dounant daûs (3) à x, y, z les accroissements A, k, /, Ao;(ar + fl/i, ^ -t- OX-, ^ -+- fl 0 + *<?;<...)-(- /^; (...) = o, A^-i(ir H- 9'A,^ -+- fl'*, i -1- 07)+ X-4-;( ...)-<- 4= (■■■) = o. Q et 6' étunt compris entre o et i ; divisant par A et faisant tendre A vers aéro, on a les équations suivantes pour cal-

Içuler^ et s',

■ ou I on tire

X ainsi de si

DES EXFR£SSIOirS CCI SE PHESENTERI SOUS LES

Certaines fonctions se présentent pour une valeur particulière de la variable sous la forme ~; cela lient souvent à ia présence d'un facteur commun qui entre au numérateur et au dénominateur de la fraction qui constitue la fonction en question, facteur qui s'annule pour la valeur

particulière de la variable qui donne â la foni illusoire - - Tel esl le cas de la fonction —r-

lion prend la forme - qui comme on peut supprime commun x — a, on a

tion la forme ■ - Cette fonc-

nd on suppose x^=.a; mais, aux deux termes le facteur

- a esl ce qu'on appelle la vraie valeur de la fonction — ^~ , pour x^a. En général, si /(*) se pré-

ao6 TRAITÉ d'algèbre.

sente sous une forme illusoire pour x = cij on appellera valeur de /(x) pour x = a et l'on désignera par la notation /(a) la limite vers laquelle tend/(^) lorsque « tend vers a.

La théorie des dérivées fournit un moyen assez général et assez rapide pour trouver la valeur d'une expression qui

se présente sous la forme -; il repose sur la formule

Pour démontrer cette formule, où d a la même valeur au numérateur et au dénominateur, on pose

d*où l'on tire

Si l'on applique à la fonction y^x) — f^^^(^) la formule de Taylor, on a

f[a -+• h] - kf[a -f- //) - [f[a) - /•y(«)] = h[f [a -f- ô//) - kff'{a 4- 0//)];

or, le premier membre étant nul en vertu de la formule précédente, on a

f'[a 4- ô/i)— kf'[a -I- Bh)= o, d'où Ton lire

En éliminant A* entre celte formule et (2) par comparaison, on obtient la formule (i), qu'il fallait démontrer.

CUAPITRE VII. ao7

Lorsque y( a) et y (a) sont nuls, la formule (i) devient sî alors on fait tendre h vers zéro, celte formule pourra

s'écrire

lira -f = Iim — ; r-yi pour /* = o,

ou, ce qui est la même chose,

iim — ^ — - = hm -— — - pour x = a.

Donc :

i^ Si ^, — { pour j: = a a une limite bien connue, si par exemple y( a) et ^'(«) ont des valeurs déterminées, la limite de sera connue et é^ale a -,, . »

2** Si, ce qui arrive souvent, ,} ! se présente aussi sous

la forme -^on lui appliquera la règle que Ton vient d'appli-

quer à — — > et Ton aura

lim ; = lim H-r- = ""^ — /T^ ?

yt-r) <f(a:) y^(a:)

et ainsi de suite.

3^* S'il arrive que — tJ — n*ait pas de limite, parce que

y'(a)= o et que /'(a)^o, — )— { n'aura pas de limite non plus. Ainsi :

208 TRAITS D'aLGÂBRE.

Règle. — Pour trouver la vraie valeur d'une expression

qui se présente sous la forme -9 on peut en génénd rann

placer le numérateur et le dénominateur par leurs dérivées relatives au paramètre variable en vertu duquel la

fraction devient - •

Cette règle, due à L'Hôpital, n'est pas sans exception. En eflfet, elle s'appuie sur la formule de Taylor et elle tombera en défaut quand yi[x) etf(j:) ne seront pas développables par cette formule pour x = a. Ainsi, en particulier, la démonstration ne s'applique pas au cas où a = oo; mais alors,

en posant x = -y on aura

im •-— — - ( pour a? = 00) = lim — -, — r- ( pour z = 0),

et nous rentrerons dans le cas étudié plus haut; d'ailleurs

hm -7 — - = lira ■ . ■ = hm — —-f ,

d'où

hm-i-i-^rzrliin-ST— -;

la règle démontrée plus haut subsiste donc encore.

Les expressions qui se présentent sous la forme - se ramènent immédiatement aux précédentes \ si^ par exemple,