CHAPITRE VU

calcul des dérivées. En eflcty on a

Si l'on fait a? = oo , la seconde fraction devient manifestement 7-^ si m = /î, 00 si /i ^ m, et o si /i <^ w.

fgX

Problème IL — Trouver la limite rfe — ;^pourx = oo .

Nous supposerons //i ^ o, a > i . On a (p. 117)

. xXosa (xloefl)* a^ — ex \o%a j , L- 4 i Î1 L 4- ... ;

donc

a^ I T log/i I (logii)*

^/n ^m ^//».-l , ^/n-« , ^ jj

Tous les termes tendent vers zéro jusqu'à celui où l'exposant de X est négatif; à partir de celui-là tous les termes

a' sont infinis et de même signe ; donc — est infini pour

X = co . Il en serait de même a fortiori si m était négatif.

jc .. ^'"

Corollaires. — Hm-r r— = oo pour x=oo , lim — = o

(logx)"» ^ ' a-'

pour j: = 00 , etc.

ProblèmeIII. — Trouver la limite de pourx^=<x> ,

Si Ton prend le rapport des dérivées des deux termes de

COS./^ i I

cette fraction, on trouve — > et, cosx étant indéter-

81 n JT —4— X miné, on pourrait en conclure que n'a pas de

a fa TRAITA d*algAbbb.

limite. Or on a

sinx-t-x sinx = hi;

or, sînx étant toujours moindre que l'uniléy a pour

limite zéro. On a donc

,. sinx -f- X lun = I .

A quoi tient cette contradiction?

Si Ton réfléchit à la démonstration de la règle que nous avons appliquée, on verra qu'elle s'appuie sur la formule de Taylor; notre règle du rapport des dérivées ne s'applique donc qu'aux fonctions f\^x) développables parla formule de Taylor. Pour rendre ce fait sensible, recommençons sur notre exemple la démonstration de la règle.

On fera - = z, et Ton aura à chercher

I I sin — \ — z z Hm pour 2 = 0,

ou enfin de