I : i sui - -f

Or (sini-+--) n'est pas développable par la formule de

Taylor, et c'est pourquoi la règle de L'Hôpital tombe en défaut.

PaoDLÈME IV. — Limite dr ^," — j— poui- x = a.

•m 4.' - siu a

• En Eppliquanl la règle de L'Hûpïtal,

dont la limile est oo . Mais là encore il est à craindre que le résultai soit inexact, car <^x — a n'est pas développable suivant les puissances de x — a par la formule de Taylor. Mais ^sin^ — y'sin a l'est, et le premier terme est

la limite cherchée est donc bien infinie.

XTIL -

aDELUniS KOTS sus L£g KiSMA ET LES HUniU.

Nous avons vu que /(j.) passait en général par un uiasium quand on avait /*(a") = o, La formule de Tajlor rend parfaitement compte de ce fait; ainsi l'on a

Si fia) n'est pas nul et si h est suffisamment petit, h OA) ne sera pas nul non pluseï sera de même signe ie/'(^a);/{a + A) — /(a) changera alors de signe avec A nir de petites valeurs de celle variable et ne sera ni

timum ni minimum. On suit en effet que f{a) est niaxii«m s'il est plus grand quc/(rt -h A), quel que soit le signe I h, et qu'il est minimum quand il est plus petit que

-*- A), quelqucsoiile signe de A; le caractère du maxi-

a et du minimum est donc quey"(rt -f- h) — y(i) a le

ie signe quel que suit le signe de h.

TRAITE D ALGEBBIi.

D'après ce qui précède, /( « ) ne sera donc maximum qae si/'(o) esl nul; la formule de Taylor donne alors

S'if'la) n'esl pas nul, le signe du second membre pour de petites valeurs de h sera celui de/"[a), el, par suite, ce sera aussi celui dej'{a-i~h) — /{(*)■ Ainsi

/(a) sera

ii/(«

ri«)>o.

On ne peut plus rien dire sij'"[a) =^ o. Mais sohJ'"[a'^ ta première dérivée de /'(jt) qui n'est pas nulle pour x = a; la formule de Taylor donne

La difrérencey~(a-t- A) — /(«) ne changera pas de signe avec A si n esl pair, el il y aura maximum si/''(a) <^o et minimum si/"{a) ^ o; au contraire, si n est impair il n'y a ni maximum ni minimum, parce que f{a ■+- />) — f{a] change de signe avec h. Nous retrouvons ainsi des résullats àéjà indiqués plus liaul.

On obtient d'une façon analogue les conditions du maximum et du minimum des fonctions de plusieurs variables. Ainsi la formule de Tavlor donne

/(« + /-, in

Pour que le premier membre ne change pas de signe avet A et A, il est nécessaire que y^ ety^, soient nuls tous deux. Ainsi, po«r qu'une fonction de plusieurs variables soit maximn ou minima, il faut que ses dérivées prises par rapport à chaque variable soient nulles.

Noua ne pousserons pas plus loin celte discussion, qui n'ofTre aucune difficullé, mais qui appartient à un autre Cours. Nous ferons observer toutefois que nos conclusions ■<iie sont exactes qu'autant que la formule de Ta^lor est applicable, et la recherche d'un maKimum est pour celte i^ison une chose assez délicate.

Pour ne citer qu'un exemple bien connu des cas où les méthodes précédentes peuvent tomber en défaut, pro- ■jj)Osons-nous de trouver le maximum de la distance d'un lipoint à un cercle situé dans le même plan.

Soient a la dislance du centre au point, iJ la distance d'uu Dint du cercle au point donné; soit x la projection du t^on de ce point sur la droite qui joint le centre au point ionné. On a, en appelant r le rayon,

âi pour avoir le maximum de S' on prenait la dérivée par apport à X, on aurait, en l'égalant à zéro, — 2 «^:o, résultat ibsnrde ; cela lient à ce que S' est maximum et minimum tour a: =: ± /■ et que la fonction S" est dîsconlinue pour = ±r: elle cesse en eirctd'existerpourjr^roua:*;; — /■, par conséquent de coïncider avec la fonction conpnue /-'H-o' — anx. La formule de ïaylor ne lui est : pas applicable. 0' est une fonction qui n'existe pas lour X <. — r, égale ii r' 4-a' — a tu: pour — r<^x <ir t qui n'existe pas pour x > r.

Problème 1. — Discuter la function

Il s'agit de voir comment varier quand j- passe de — oo

3l6 TRAITE U'ALUtBRE.

à + 00 d'une façon coniioue; en formant la dériTée y', on voit 'l'abord, en discutant son signe, quand^ croit et quand il décroît, ce qu'il serait sans cela difficile de décider quand le numérateur et le dénominateur varient dans le même sens. On a

On peut observer tout de suite que y ne change pas de valeur quand x se cbange en — x, mais qu'il change de signe. Des valeurs dçj pour x positif on déduira donc les valeurs correspondantes pour j? ni^galif, et nous n'aurons pas besoin de discuter les valeurs de j- pour les valeurs négatives de x si nous avons discuté ses valeurs pour les valeurs positives de x. Nous pouvons mi^me observer que y reprend périodiquement les mêmes valeurs quand x prend des accroissements égaux à an. Nous n'aurons donc qu'à faire varier x de o à an, et par cela même nous connaîtrons la marche de la fonction j en dehors de ces limiles.

Or, tant que r reste moindre que -j les deux termes de j^ sont positifs; j croît donc dans cet intervalle; il est nul pour X = 0 et infini pour x = -r : ^ passe alors brusquement du positif au négatif, mais, ^' étant encore positif,

jr croît tant que l'on n'a

c^ ~. alors

j s annule, et.

comme j est continu, il passe par un maximum; 7' change

de signe; y décroît jusqu'à ce que l'on ailx = -^;y redevient infini, mais, comme^j-'reste négatif,^ passe du négatif au positif, décroît encore, s'annule pour x^it, décroît

négative, il passe du négatif au positif et décrotl pour

aUeiodreun minimum quand j: ^ - — ; la dérivée alors passe

du négatif au positif; j' croît, devient infini pourx^ ^»

et, comme ^' ne change pas de signe, ^ passe du positif au négatif et croît jusqu'au moment où :r ^ ait; alors y est nul et repasse par la série de valeurs que nous venons de trouver indéfiniment. L'un des objets de la Géométrie analj'tique est précisément la discussion des fonctions et leur représentation géométrique; nous renverrons donc pour cet objet le lecteur à un autre Cours, en bnroant là ce genre de discussion, que nous ne saurions traiter complètement ici avec les seules ressources de l'Analyse.

PaOBLÊHE II. — Trouver les maa^ima et les minima de fonction xe~',

La dérivée de celle fonction étant c"^ — xc~-' ou e~'{t — j:r), on voit qu'elle s'annule pour j:^ i et e~^^^ o; or, c~' n'étant nul pour aucune valeur finie dex, la fonction en question est masima ou minima pour .r ^ i , car pour x = i elle est continue; la dérivée seconde de xo~' est

st-à-dire négative poui loue xe~' maximum.

r^i; cette valeur de x rend

- De tous les parallélépipèdes rectangles A' inscrits dans la sphère de rayon R,

Pboblème m. •

pis même surjact lat est celui dont le volume est maximum?

• Soient x,jr, z les c6tés du parallélépipède ; on a

2r8 TRAITE D*ALGiftBRB.

Il faut rendre xyz maximum. Pour résoudre cette question, il semble qu'il soit nécessaire de calculer xyz en fonction de x, par exemple, pour égaler ensuite sa dérivée à zéro ; mais on peut poser

(3) m:=xyz

et prendre la dérivée de m comme celle d'une fonction implicite. Observons d'abord que Téquation (i) peut être remplacée par

(4) x-hr ^-«= v^R*-+- 2/t',

qui est plus simple. La variable indépendante pouvant être à volonté x,j^y z ou toute lonctiou de ces variables, laissons-la indéterminée et prenons les dérivées des équations (a), (3), (4) ; en remplaçant m' par zéro, nous aurons

xx' -f- yy' -h zz -=• o,

x' yz -h y zx H- c'xr = o ;

en éliminanto:', j^', z', nous aurons une relation qui, jointe aux conditions (i) et (2) ou (2) et (4), lera connaître X, j^, z. En éliminant x\ j\ z\ on a

celte équation est satisfaite pour y = z. Les formules (4) et (2) donnent alors

iy -+-x = ^/R*-f-2/fS 27«-f-x*=R*,

d'où l'on tirera les valeurs correspondantes de x et de j% Nous laissons au lecteur le soin d'achever le calcul.

Problème IV. — De tous les cylindres inscrits dans

crupiTBE vii. 319

I hémisphère, (juel est celui dont la surface totale est ^maximn ?

En appelant R le rayon de la sphère, x le rayon de base tvariable, la surface à rendre maxima a pour expression

Nous devons égaler la dérivée de celte quantité à léro; ' nous trouvons alors

olant le radical dans un membre el élevant au carré, on a

4^-»(iv' - ^') = 4.r' - 4R'r' + R'

Cette équation bicarrée donne pourseule solution réelleel admissible

La solution correspondant à la plus petite valeur de x donne évidemment un maximum et l'autre un minimum.

Le calcul de la dérivée seconde sérail, sinon dilTicile au moins de peu d'intérêt, à cause de sa complication.

On arrive au mémerésultalcn posant x^R cos^ ; la quantité à rendre maxima ou minima est alors cos'^ + sintf cosf; en égalant sa dérivée à zéro, on trouve

iS'f-t-3iaogy — i = o

VtO TBAITË DALCLBRC.

on en déduit

tangy ^ -^i-Jk/Z, cosp = - \/a d= v'a,

ce qui donne la valeur de x trouvée plus haut.

ZTUI. — DES FOlfCTIOHS PBDIRmg.

La recherche de la dériviïe d'une fonction est un pr( blême résolu, d'après ce qui précède, pour toutes les fonclions que l'on a i, considérer dans les éli^ments; il n'en est pas de même du problème qui a pour but la recherche d'une ronclion dont on donne la dérivée. Ce problème, qui est de la plus haute importance en Analyse, est du ressort du Calcul intégral ; nous n'en dirons ici qu'un seul mot.

La fonction qui admet /'{j:) pour dérivée s'appelle la fonction priniUii'e ou l'intégrale de/(x). Bien quel'on ne sache pas toujours trouver cette fonction primitive, il est bien des cas dans lesquels on peut la deviner; ainsi l'on voit

de suite que la fonction primitive de kx"" est A ^ .

excepté si m ^ — i; la fonction primitive de — est Alogx.ctc,

Mais on peut se demander si une fonction n'admet qu'une seule primitive; les théorèmes suivants ont pour buld'éclaircir celle question.

Théohèhe I. — La dérivée d'une constante est nulle, et réciproquement, si la dérivée d'une fonction continue entre les limites a et b de la variable est nulle; cette fonction reste constante entre ces limites.

En effet, soient /(a:) la fonction en question, x clx-i-h deux valeurs de la variable comprises entre a et i ; la formule de la page ifij lui est applicable, puisque la dérivée,

étanl nulle par hypothèse, existe et est hien déterminée, et l'on a

f[x^k)=/{^) + bf[x + U]

./"(j:) étant nulle poura < j < A, on a.f[x -t- BA ) = o, et par smief{x-\-h):^{Jx); Aoacf(x) est constant, cr qu'il fallait prouver. La réciproque est évidente.

TiiÈonÉME II. — Deux Jonctions ayant la même dérivée ne (tirèrent entre elles que par une constante.

En effet, soient/{x) et V{x) deux foDclions telles que l'on ait

Ls fonction /(j:) — Ff.r) a sa dérivée nulle; donc cette functioD est constante, el par suite

f[x] = f{x) +con«.

Ce théorème reposant sur le précédent, il est sous-entendu ■qne les foDCtionsy(x) et F( j:) sont continues. |t D'après cela, on voit que la fonction primitive de

\o^>e + consl. = logcx,

— totx -4-ci)nsl.,

Pour faire comprendre l'utilité des considérations précédentes, nous résoudrons quelques problèmes :

l" Quelle est la fonction de x constamment égale à M dérivée?

221 TRAll'B D'ALGÉBEB.

Soitj^ la (onction inconnue; on a ce que Ton peut écrire

Avec un peu d'habitude, on reconnaît que —est la dérivée

y' de logr; les deux quantités — et i sont donc les dérivées

de logj^ et de x\ comme ces dérivées sont égales, log^ etx ne peuvent différer que par une constante c; on a donc

log f=. .r. -if c^ y=. e*"^,

2® Trouver le volume d'un segment sphérique à deux bases?

Soient R le rayon de la sphère, h la hauteur du segment ou la distance de ses bases. Supposons Tune des bases variable de position ; soient r son rayon et z sa distance au centre de la sphère. Si z reçoit Taccroissemcnt A^, le volume cherché V reçoit un accroissement AV que nous allons estimer. Ce volume AV est compris entre celui de deux cylindres ayant pour hauteur A3 et pour bases deux cercles de rayons r et ;• -f- Ar ; donc

on en conclut

av

7r/^<-— <7r(r-h Ar)*.

As

av

Si Ton fait tendre As vers zéro, — tend vers V. et la for-

As *

mule précédente donne, en passant aux limites.