CHAPITRE m

d'autres A, B, C, . . . , ef si les quotients de A, B, C, . . . par P sont A', S'y C, . . . , P dis^isera aussi

ak -f- /;B-f- cC

a, &, c, . . . désignant des poljnônics entiers en x ou des //uantités indépendantes de x. Le quotient sera

a A' -4- bh'-hrC -^

C'est ce que Ton vérifie en multipliant ce dernier polynôme par P; on obtient en effet ainsi, quel que soit x^

«A'P-i-^B'P-hcC'P-^.,.,

-en observant que, A', B', C, ... étant les quotients de A, B, C, . . . par P, on a A'P :^ A, B'P = B, . . . . Cette <3xpression devient précisément

flA -4- ^B -f- cC -I-. . . ;

doncaA'-i-iB'-f- . . .est bien le quotient de a A -f-iB-f- . . . par P.

Théorème III. — Aï le polynôme P entier en x s^annule pour x = a, il est divfisible par x — a, et, si m est le degré de P, on pourra toujours effectuer le quotient de P par X — a, de telle sorte que ce quotient soit de degré m — I.

En effet, soit

•ir — Aq ~r" A.\X — T" Aj.î* — T~ . . • ~r~ A m Jr ^

Aoy A|, ..., Am désignant des quantités indépendantes de X, Puisque P est nul pour x = a, on aura

o = Ao-4- Ajrt -î- Aja' 4- ... 4- A,„fl'"; retranchant cette égalité de la précédente, on a

4^ TBAITÉ DALGÉBftE.

X '/z, jr* - '/ï', . . . sont divisibles par x — a i théorème I)

fX \v% i\iiiA\îtnK% Mint i , x -j- «, x* -h ax -r- û-, Donc

lîn v<îf'tij du ihitorhm: précédent, Psera divisible par x — i #ît b; rpjoti#;nt pourra »e mettre sous la forme

OU <în<:onî

L<î (|ii()liciit/;oii/7*a donc bien se mettre, quel que soit x, HOUM la fornie d'un polynAme de degré m — i . c. q. f. d.

La (b^nionstralion précédente est de Lagrange [Traite tirs (u/uatioNs nuuwrùjues, Note II).

'riii<;onJ:MK IV. - - Un polynôme en x du degré m ne fHutt ss'annu/rr pour plus de m valeurs de x, à moins d'ctro idrnfit/uement nul,

Ku ofVot, soil V un polynAnie en x du degré m. Si ce polvnAnio s*iuuudo pour x :- </( , nous venons de voir qu'il iSUxh i\\\h\h\c parx — rt,, et que Ton pouvait poser

<>, dt^i^nant ici uu poKui^mo du degré m — i. Si Ton Mipposo alors quo P >*annulo onooro pourx^^^j, il en sora do nn^mo do son ôj;al V}, i x ~- <i, ^ : mais, si a^ est difféivnl do «i,»,r <i, no sora pas nul pour x = ^j, et le piN^bul 1^, ^.r «j,^ no pourra s*annulor que si Q, =. o. V},* s'annulani pour x «7** sora dixisiblo jvar x — j*, et Ton pouïTa posor

CnAPfTRE III. 43

Q, désignant ici un polynôme de degré ni — 2. Supposons que P s^annule encore pour x ^=^ a^^ on démontrera, comme tout à l'heure, que Qi s'annule aussi pour x = a» et, en vertu de l'égalité précédente, que Q2 s'annule également pour X = a,. On pourra donc pose'

Qs désignant un polynôme de degré m — 3. En continuant ainsi, on finira par obtenir une formule telle que

dans laquelle Q« désigne une quantité indépendante de x, ou, comme on dit quelquefois, du degré zéro.

Si l'on multiplie membre à membre toutes les égalités que nous venons d'écrire, on trouve

PQiQiQj • • Qm-i = QiQi • . Qm (^ — ^1) [^ — ^t] • • (^ — «ml>

ou bien, en supprimant le facteur QiQ2---Qi»-i aux deux membres de cette égalité,

et il est bien clair que le polynôme P ne peut plus s'annuler pour aucune valeur de x différente de «i , «a» ^i? • • • » amy à moins que Q,„ ne soit nul, auquel cas P serait constamment nul, quelle que soit la valeur attribuée à x, ce que l'on exprime en disant que P est identû/uenient nul. Cette démonstration repose, comme on voit, sur ce que la quantité Q^ ne contient pas x, et, par conséquent, ne peut devenir nulle pour aucune valeur de x, à moins d'être toujours nulle.

Théorème V. — ITn polynôme identiquement nul , ou, d'après le théorème précédent, un pol} nôme qui s'annule

44 TFIAITÉ D ALGÉItiie.

pour un nombre de valeurs de sa variable supérieur son degré, a sas coefficients nuls.

En cfTcL, soit

P = A|,-+- A,x-^-AJJ:'^-.. -f-A„i'"

le polynôme en question; ce polynôme, étant nul tjuel qi aoit X, sera nul pour x = o. Or, si l'on y fait x = o, < polynôme se réduit à Ao ; donc Ao est nul. On a donc sin

plcment

Mais, P étant nul quel que soit jr,

- ^ A] -t- A, j: h- . . . -!- Am-c™— '

sera encore nul pour toutes les valeurs de x, excep peut-être pour J!^ =^ o. Mais il est nul pour un nombre ( valeurs de x supérieur à son degré, qui est m — i ; doi il est certainement nul pourx'^o. On en conclut qt A| = o, et ainsi de suite ; donc enfin le polynôme P a tôt ses coeflicients égaux à zéro. c. q. f. d.

Théorème V. — Lorsque deux polynômes P, Q enlie. an X sont égaux pour plus de m valeurs de x, m dés gnanl le degré de celui de ces polynômes qui a le degi le plus élevé, ces pol} nâmes sont identiquement égauj c'est-à-dire qu'il" sont toujours égaux et que les coeff, cients des mêmes puissances de x sont égaux.

En efifel, soient

P = A„-i-A,j:-t- Ai-r'-i-

les deux polynômes en question ; le polynôme

P-Q = fA,-B,)-l-(A,-B,)« + (A,-B,).r'-i-...

r esl du degré m au plus. Or, P ëtaol égal à Q pour plus de > m valeurs de x, leur différence P — Q s'annule pour plus de m valeurs de jr, et l'on a

1 ce qui revient à dire que les polynômes sont idcniiijues et I de même degré.

ReMingnE I. — Si les polynômes P et Q étaient égaux pour m valeurs de x et si l'on avait Ao,= Bm, la différence P — Q serait de degré m — i , et l'on aurait encore P — Q nul pour plus de m — t valeurs de x ; donc

COEOLLAIBES.

Les corollaires que nous allons énoncer sont tellement F importants, que nous avons voulu éveiller l'attention du I lecteur en les plaçant dans un paragraphe spécial.

ConoLLAiBE 1. — L'addition, la soustraction, la nutlli- I pUcation et la division des polynômes (^i/iiand elle est /los- ] lihle) ne peuvent se faire <jae d'une seule manière, tfuand on veut le résultat sous forme dti polynôme eniier.

Ainsi, par exemple, le produit de deux polynàmcs ne 1 pourra pas se faire de deux manières dilTérenles, car les Y résultats, devant être éf^aus quel qui I leurs coefficients égaux.

oit T, devront a

Cobou-aikeII. — Deux polj nômes entiers e.

4G TRAITE d'algèbre.

égaux entre eux quels que soient Xy y y z, . . . , ont toi leurs coefficients égaux.

En effet, ces deux polynômes peuvent s'écrire sous le Ibrmes

Ao-4- A,x -h Ajx'h-. . .-h Am^^,

Ao, Bo, A|, B|,. . . désignant des polynômes en j^, z,. . . Si nous donnons à j', 3, . . . des valeurs fixes quelconques les deux polynômes devant être égaux quel que soit x, o\ aura

Ao = Bo, Ai = B,, ..., A;„ = B;„;

mais A/= B/ quels que soient j', z, . . . , puisque les valeurs attribuées kj'jZ, ... sont quelconques. Si donc les polynômes donnés ne contiennent que x eij^, A/ et B/ ni contiennent que la variable j^, leurs coefficients sont égaux ce qui veut dire que, dans les polynômes primitifs^ Icî coefficients de x^j-^ sont égaux quels que soient i et y.

Si les polynômes donnés contenaient encore z, on raisonnerait sur Ai et sur B/ comme on a raisonné sur les polynômes donnés, et Ton verrait que dans A/ et B/ les coefficients de ^'\3*sont égaux; il en résulte que, dans les polynômes donnés, les coefficients de x^jJz^ sont égaux, et ainsi de suite. c. q. f. d.

Corollaire III. — Pour que le quotient de deux polj-

nomes ~, ; — ; r— soit un nombre inae-

pendant de x, il faut et il suffit que l'on ait m = n et

En effet, en appelant q le quotient indépendant de x, on