Trouver la /!"■• dérivée de «w

4. Trouver la n^^^* dérivée de arcsinx : si Ton appelle cette fonolion jr, on se bornera à prouver que

5. Trouver la/i*^°>« dérivée de arctangx; en appelant cette fonction jr, on a

6. On étendra la formule du binôme au cas d'un exposant quelconque en développant (i-h A)*» par la formule de Taylor. On aura ainsi

R étant donné par la formule

R= : L-— i ^^«-»-î(i — ô)'»(i-hô/ij'»-»-«.

On supposera

et Ton étudiera dans quels cas le reste peut tondre vers zéro. Celte discussion présente quelques difficultés : on essayera de vaincre le plus grand nombre d'entre elles.

7. Démontrer, en s'appuyant sur la formule de Taylor, les équations suivantes :

arc tangx = x ——-+-—-—.. .

arc smx = x h ^ -{ ; -=- -;- —

8. La formule de Taylor permet d'évaluer une limite de l'erreur commise en admettant que les différences entre les nombres sont pro-

portïoDoelles aux dJH'érenceâ qui existent enlre lears logarilbmes, lorsque l'on fait uaage iea labiés.

En effet, soient x et ^ -t- 1 deux nombres de la lablc, x -i-/i un nombre compris entre ^ et j: + i, A la différence tabulaire, on a par h formule de Taylor

(1) loslj: + A)-IPg-^=/'log'(x + S/,) = ^-^^,

m 6 est compris entre zéro et i . Si l'on suppose /i ~ i , on a

Iog(r + i)— log* ou ù. = ~^^- ; Bi étant compris enlrczcroet i, on établit ordinairement la proportion

>0ii

'êi^

A)-log:

bis, en comparant co résultat avec te résultat eiacC (i), on voit que 'erreur est 1 r-r; cette erreur est donc moindre que

X est un nombre de

- ou que

a même que -

cinq chiffres ; on voit que l'erreur est bien loin de porter seotième chJSre.

r le

9. Évaluer d'une manière analogue une limite de l'erreur commise

faisant usage des tables Irigonométriques, quand on admet la pro-

i entre les différences des arcs et les dilféreaces entre

les dilTérences procèdent de lo'en io';il faudra donc éviter l'usage petits arcs x. — Ëtude analogue pour les logaritbmes cosinus et m tes.

10. Étant donnés un angle droit et un point dans son plan, par co point faire passer une droite qui, limil4^ aux câtés de l'angle droit, •oit de longueur minima.

lis

TnAITE OALGeORE.

M. Un poiiil se meut avec une vitesse v dans un milieu A et avec uue vilfsâe v' dsus un milieu A'; ces deux milieux sont séparés par une surface plane : quelle doit Ôlre la irajeclaire do ce point pour sa rendre d'un point M sllu^ dans le milieu A on un point M' situé dans le milieu A', pour que le temps du trajet soil un minimum (on doit trouver que l'angle d'incidence et l'angle do réfraclion ont un rapport de sinus égal à <■ -. «')î (Fcdmat-i

12. Trouver sur la droite qui joint dcus lumières le point le moins

13. D6mDDlrer que, e, p, y, ... étzal des nombres quelconques ;t j: -t- j- -t- X -r- . . . étant constants, le maximum de t'j*-'' ... a

H. Étant donnés deux points A et B et une droite parallèle à AD, trouver sur celle droite un poiol M lel que a MA -1-6 MB soit un minimum, a ei b désignant deu» nombres donnés.

19. Sur la ligne des centres de deux splièrcs, trouver un point lel que la somme des calottes vues de ce point soit ui

16. Démontrer que si/(.r) a'onnule pour j: = «, j les quantités n, t, r, ... / étant ou nombre de n, on ;

X désignant uno quantité comprisG entra ia plus granda et la plus petite des quantités x, ii, ù, . . . I.