I. — HOTions sïïB US mnmciiT fetits

Od appelle infiniment petit toute quantité vnrinbla pi a pour limite zéro (t. I, p. 1 15).

L'infini ment petit n'est donc pas une quantité nulle, et

y a cette dilTérence entre le zéro et l'inGniment petit que B zéro est un nombre fixe, tandis que l'iafinîment petit ist essentiellement variable de sa nature.

On dit que deux infiniment petits «, p sont de môme

Wdie quand la limite de leur rapport - est finie et diffé-

«Dte de zéro. Quand la limite de - est nulle, on dit que P

IBt d'ordre supérieur à a.

Si la limite de -^^ est finie et différente de zéro, on dit

ipie ^ est d'ordre m par rapport à a : ainsi a." est d'ordre m lar rapport à a.

Dans une question d'Analvsc, on prend en général l'un les infiniment petits de la question pour infiniment petit |»incipal ; tout infiniment petit de même ordre que l'infinimcnt petit principal est alors considéré comme étant du premier ordre, et, en général, tout infiniment petit d'ordre mpar rapport à l'infiniment petit principal est simplement I «ppelé un infiniment petit d'ordre m. Nous pouvons ré-

i3a TnArru D augkbbb.

Kumer ces notions dans une formule. Soit a

petit principal; |3 s<

nfiniment petit d'ordre r

ii".-i;=/.

p désignant une quantité Unie dilTérente de zéro, et de celte formule on déduit, en appelant s une quantité infiniment petite

«"« est d'ordre supérieur à a", puisque son rapport à a" est Cf qui par hypothèse est infiniment petit, c'esl-à-dire a pour limite zéro. On voit donc que tout infiniment petit d'ordre m est de la l'orme pa"" -t- un inlluiment petit d'ordre supérieur à m.

Il y a ici une remarque importante à faire : pour que l'ordre d'un infiniment petit (3 soit supérieur à l'ordre de a, il n'est pas nécessaire que l'ordre de ^ soit déterminé par

rapport à ae; il sufTit que lim - = o. Ainsi il y a des infî-

niment petits qui sont d'ordre supérieur à celui de ot, sans être pour cela d'aucun ordre par rapport à x.

a{\ogx)~* n'est d'aucun ordre, parce que ' — ~- ne tend

vers aucune limite, quel que soit m, pour a ^ o. II est cependant d'ordre supérieur à celui de a,

n. — théob£iiiii: romAinan'AL.

Lorsijue l'on cherche la limite du rapport de deux infiniment petits, on peut sans inconvénient remplacer ces injiniment petits par d'autres, pourvu que la limite du

rapport de chaque injînimeiit petit à celui qu'on lui subtitue soit l'unité.

!lela résulte de la suite d'égalités

n ^ = lim ^ lira - lim |- = lim ^ - ;^ — - lim ^•

On peut donner à ce théorème fondamental une autre me plus commode dans les applications. Remarquons

1 effet que, si lim — ^ i, z' ne diffère de « que par un

ifiniment petit d'ordre supérieur par rapport à a et à er',

[ni sont de même ordre. En effet, si lim — = i , c'est que

■ f, E tendant vers zéro avec as et «'; donc

t a't est d'ordre supérieur à celui de a', car -^ = j, qui

ind vers séro. Donc, deux infiniment petits leU que la ) de leur rapport soit i ne di^rent que par un e d'ordre supérieur.

téciproquement : Si la différence de deux infiniment etits est d'ordre supérieur par rapport à chacun d'eux, j limite de leur rapport est i .

En effet, soient a et «' deu\ infinir îifféreDce; on aura

ni petits, E leui

a34 TBAITB D'ALOteU.

d'où

Si e est d'ordre supérieur par rapport à a', -7 tendra ven zéro et Too aura

lim -r = I .

De là résulte que nous pouvons énoncer notre théorème fondamental en ces termes :

Quand on cherche la limite du rapport de deux infini^ ment petits, on peut négliger, dans l'expression de cha" cun d'eux, des infiniment petits d'ordre supérieur •

Supposons, par exemple , que Ton veuille trouver la li-

mite de — - — 5— pour x = o ; on observera que, x étant

infiniment petit principal, x' et x^ sont d'ordre supérieur par rapport à — x et à — 3x; on peut donc les négliger, et

la limite cherchée est celle de — ~ ou ;r-

— ôx 3

m. — DES DIFFÉBEimELLES.

Soit j' une fonction de x ayant une dérivée j'; on a

lim-^=j' (pourAjr:=o)

ou, si Ton veut,

Ax -^ ^ »

e désignant un infiniment petit, c'est-à-dire une quantité

IHAPITBK «

nulle avec Ax, mais dool l'ordre précis nous est d'ailleurs ÏBConnu, ce qui pour le moment esl tout à fait iodilTéreoL On en conclut

Edét ment par est!

Le d'ord:

calcul Ouh on le

iipnant le produit de î par ùx, c'est-à-dire nn inlinipetil d'ordre supérieur par rapport à Aj-, et par suite

apport ky^x, dont la limite du rapport à ^x oay

a général finie et dilTérenlede zéro.

produitjj'Ar, dilTérant de A^- par un infiniment petit

're supérieur E, pourra remplacer Ay dans une limite

ipport, et, comme il sera généralement plus facile i er, il y a lieu de prendre ce produit en considération, .donne avec Leibniu le nom de di^erenriclle dey, et représente par dj'. On a donc par définition

rfr =

Ainsi :

" La différentielle d'une fonction est le produit de la ivêe de celle fonction paf l'accroissement arbitraire ùx de la variable;

a" Quand l'accroissement donnée la variable est infirment petit, la différentielle de la fonction est infiniment ^lite, et elle peut, dans la recherche des limites de rapports, remplacer l'accroissement de la fonction, dont elle diffère par un infiniment petit d'ordre supérieur;

Z" Quand l'accroissement de ta variable est égal à i , ta différentielle de la fonction est égale à sa dérivée.

Cette dernière remarque n'a d'autre utilité que de faire lûeti observer que la dillérentielle d'une fonction n'est ni nne quantité nulle, ni une quantité très petite, ni une quantité égale à l'accroissement de la fonction.

TUAIT 6 D'ALGâBHE.

r a un cas remai

r = x. En effel,

lequel on a Ay ^ dy :

I sup'

= X, on a, en obi

Ainsi, la différentielle de la variable est égale

tissument . Si al dx, on a

t alors, dans (i), Ax par son

Puisque la dérivée j' est égale au rapporl^i rien n'empêche de représenter à l'avenir la dérivée de lu foticlion j' par la notation ~\ c'est ce que l'on fail soiivenl.