IV. - ATAUTABES de la HOTATIOR LSŒHITZIIiHlIE

La notation -j- prése ■uses avantages.

nte sur la noialion plus simple y' pressive; elle rappelle par sa iorme

1° D'abord e l'origine de la dérivée.

î° Un autre avantage de la notation différentielle consiste en ce que dj est toujours la différentielle dej', quelle que soit la variable indépendante, tandis que la notation >-' représente des fonctions bien différentes, suivant la nature de la variable indépendante. Je m'explique. Soient j- une l'onction de x el t une autre fonction de x; alors y sera par cela même fonction de t. Soient y'^ la dérivée de y relative ù x,j', sa dérivée relative èit;soienld,u, en général, la différentielle d'une fonction u relative à (, d^u la

dilTérenlielle de la même fonclioii relative à:r; on a •f^r , j't y, àj I d,y

Ainsi -^représente la dérivée dejj relative à ,r, que j" soit

variable indépendaDte ou que t soitvariable indépendante,

puisque -y^ :=. ~- ; au contraire, j^ n est pas égal a jj,

puisque 7;i = y,t'^aMy^= ^.

3° Mais la notation différentielle présente encore un autre avantage sur celle des dérivées, et celui-là est immense.

Supposons que, en négligeant des in&niment petits d'ordre supérieur à ceux que l'on a conservés, on aoil parvenu à une équation de la forme suivante, où A, B, C, D,sonlGois:

Arfj- + Bi/r + Crfs -I- D dt -

Une pareille équation, en vertu de la notation dont on a fait usage, est rigoureusement exacte; les erreurs se sont compensées d'elles-mêmes.

Pour expliquer cette proposition un peu paradoxale, observons que, si l'équation (i) est inexacte, la suivante sera parfaitement exacte :

hJj:-\- hdx-JfCd:.-\-Odt~t,

c désignant un terme d'ordre supérieur à di, puisque, par

a38 TBAITE 0*ALGèBRB.

, hypothèse, on n'a négligé que des termes d^ordre sapérieur. Divisons alors par dt et observons que, quelle que soit la valeur de dt, on sl

nous aurons

dx , dy , ^ __ '

^•"^'' Tt^^'' 57-*''

Aj^'i -f- B/t -h Cz't -4- D = ^-

dt

Or — tend vers zéro avec dt, puisque i est d'un ordre supérieur à celui de dt. Le premier membre de l'équation précédente, pouvant être pris aussi petit que l'on veut en prenant dt suffisamment petit, est rigoureusement nul, puisqu'il est indépendant de dt; on a donc rigoureusement

Ax\ 4- B/t -h Cz\ 4- D = G.

En multipliant par dt et en observant que x\dt=^dxy y\dt = dy-y . . . , on a aussi rigoureusement

Adx -+■ Bdr •+- Cth 4- Dr// = o.

L'erreur e était donc bien nulle.