CHAPITRE VIII

On a

et, en multipliant par dx,

On a

On en conclura, en mullipliant par la difTérentielle dx de la variable

d,uv= ( «' r/jT ) i' -h ( v' dx ) u ou

d, uv •=. vdu H- udv.

De la formule

(M Y vu' — uv'

on déduira, en multipliant par dx.

u vdu — udp

Le théorème des fonctions de fonctions donne Tégalité

yx=r»!r»

, dr , fiu , dx

et, en remarquant quej^„ = —, u,= --, ç.,^= --, on a

t/u •^ di' " dv

dy dy du //»• dr du dv dx

OU plus exactement, en mettant au bas de la lettre d la variable par rapport à laquelle on difTérentie,

djrY __ duX^ d^ d^

djpX d^u li^v djgX^

xi» TIHITÊ

mais on a vu que Ton pouvait supprimer les indices place au bus de la lettre rf el les supposer identiques (p. a3o), en sorte que cette fiirmule ou (i) est évidente.

Nous ferons au sujet du théorème des fonctions composées une remarque importante. Si/(u, v] désigne une telle fonction, u, t' désignant des tondions de x

ou, en multipliant par lix,

Jen'aipasremplacéy^ct/„'par-^ el ; parce qu'il en résulterait une confusion; l'équation précédente pourrait eu

On serait tenté de simplifier, et alors, en supprimant des facteurs communs, on trouverait df^ ^4f' "^^ l"' ^s' absurde; mais il est facile de voir que cette simplification ne doit pas se faire, les trois f//~lîgurant dans ces formules ayant des significations distinctes.

dj qui est écrit dans le premier membre représente, aux termes du second ordre près, l'accroissement dejdù à l'accroissement dx donné àj-. Au contraire, le premier rf/ qui est écrit dans le second membre représente, aux termes d'ordre supérieur près, l'accroissement que prend f quand tiseul croît de du, t* restant constant. Or on conçoit quey prendra des accroissements tout différents, quand on fera varier à la fois u et i" par un accroissement donné à x ou quand on fera varier c tout seul. Pour éviter toute confusion et pour marquer que l'on ne doit pas chasser les dénominateurs, on représentera les dérivées partielles de f