IV. Si l'on a établi unejormule telle que

A ((/■ + B (^ + . . . -t- P(/j^ + Qdj -t- . . . = o,

CIUPITHE VIII. a5i

en négligeant des infiniments petits d 'ordre supérieur au premier. A, B, C, ... ne contenant pas dx, dy, ..., df, dg, .... différentielles des variables x,j, ... et des Jonctions f\ g, ..., cette formule se trouve rigoureusement établie en vertu de la notation employée.

En effet, si cette formule n'est pas exacte, son second membre o doit être remplacé par un certain inâniment petit £ d'ordre supérieur; en divisant par dx, elle devient alors

à g df dj dx

Or, si l'on fait tendre dx vers ïéro

dr di ,

ports —1 -T~< ■■■ des

tend vers zéro, et l'on i

coDservanL aux n aleurs finies y, z', ..., fiscs, rigoureusement

ôj--'

en multiplïanl par dx et en observant que -f-> -t-< ' ^ ' dx dx

sont restés les mêmes bien Que dx ait pu ^ goureusement

kdf+ Brfff + . . . + Pf/^ -t- Q<//- -h . .

On verrait de môme que, .

une équation telle que ■ Pdx* -t- Qrf/' + . . . = O

aSa TRAITA D'ALGBBEB.

a été établie en négligeant des ternies d'ordre supérieur au second, elle est rigoureusement exacte, etc.

Nous terminerons ce qui est relatif aux différentielles totales en faisant observer que Ton a

d[u±vzt:(v) zzzcludidifzh dm»,

duv =z udv -^ 9 du^

u V du — u dv d-'=. -T j

dans le cas où d représente une différentielle totale comme dans le cas où il n y a qu'une variable indépendante. Ainsi, par exemple, dans le cas où il y a deux variables x, y, on a

àuv , dut*

duv = — ;— dx H ;— dr

ax ôy

dtf , du , dv . du .

= Il 3- f/x -i- c 3- rfj? 4- tt ^- «r -+- «' ^- or ox dx âjr dx

l dv , de . \ . Idu du \

=z U dt> -h V du.

Les autres formules se démontrent de la même façon.

Si 9 est fonction de u, ^, et sî u et i^ sont fonctions de x^ y^ la différentielle totale de 0 sera

djô ^d — /^— — — — ^rf

dx du \du dx dv dx)

de^du ded9\

^ du dy dv df)

dB [du , du \

du\dx dy I

dB fdv dv

dv \dx dy

-H ^ ( ^ ^^ 4- 3^ dy\

de , dQ , = —- (lu -H ^- dv.

Ou Ov